[論文レビュー] Quantum Mechanics and Determinism

Gerard ’t Hooft|ArXiv.org|May 11, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、自由スカラー場およびマクスウェル場の量子場理論に一対一で対応する決定論的古典場理論を提案する。大規模なグローバルゲージ群を用いてユニタリ性とローレンツ不変性を強制する。主な結果は、量子理論のシュレーディンガー方程式が、古典モデルにおける決定論的時間発展から導かれるものであり、量子力学が正確なローレンツ不変性を保つ決定論的隠れ変数枠組みから生じうることを示している。

ABSTRACT

It is shown how to map the quantum states of a system of free scalar particles one-to-one onto the states of a completely deterministic model. It is a classical field theory with a large (global) gauge group. The mapping is now also applied to free Maxwell fields. Lorentz invariance is demonstrated.

研究の動機と目的

• 量子力学が隠れ変数を伴う決定論的古典理論から生じうるかどうかを検討すること。
• 従来の自由スカラー場からの写像を自由マクスウェル場へ拡張し、ローレンツ不変性を保つこと。
• 量子場理論のシュレーディンガー方程式が、グローバルゲージ対称性を持つ古典系における決定論的時間発展から生じることを示すこと。
• ゲージ不変性が決定論と量子ユニタリ性、因果性を統合する役割を果たす仕組みを調査すること。
• 観測量が大規模で非局所的なゲージ群に対して不変である古典的解釈を提供すること。

提案手法

• 時間発展がシフト作用素によって支配される離散格子上での古典的円運動に、量子調和振動子の状態を写像する。
• SU(2)生成子と角運動量演算子を用いて、連続極限において量子調和振動子のスペクトルを再現するハミルトニアンを定義する。
• グローバルゲージ群を備えた古典場理論を構築し、物理的観測量はゲージ不変なものに限ることで、ユニタリ性とヒルベルト空間構造を保証する。
• Weyl型ゲージ群を導入し、実在論的ゲージ群とからませることで、自由マクスウェル場に対しても同じ写像を適用し、ローレンツ共変性を保つ。
• 連続極限におけるマクスウェル場の古典的運動方程式がローレンツ変換に対して不変であることを示し、ローレンツ不変性を実証する。
• 周期性を扱い、ハミルトニアンにおける曖昧さを回避するために、離散的な時間および空間格子を導入し、ゲージ不変な観測量の決定論的時間発展を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的古典場理論が、自由量子場理論の力学的性質とヒルベルト空間構造を再現できるか。
• RQ2 量子電磁力学の決定論的モデルにおいて、ローレンツ不変性をどのように保てるか。
• RQ3 大規模なグローバルゲージ群が、古典的観測量が量子力学的期待値に対応する仕組みをどのように保証するか。
• RQ4 非局所的ゲージ対称性を持つ古典系における決定論的時間発展から、シュレーディンガー方程式が生じうるか。
• RQ5 ゲージ群の構造が、量子場理論におけるユニタリ性と因果性の出現にどのように関係するか。

主な発見

• 自由スカラー場の古典モデルは、大規模なゲージ群を伴う格子上の離散的円運動を介して、量子調和振動子のスペクトルとシュレーディンガー方程式を再現する。
• 自由マクスウェル場に対しては、Weyl型および実在論的ゲージ対称性を両方尊重するゲージ不変な形式を構築することで、古典理論がローレンツ不変であることが示された。
• 写像はユニタリ性と因果性を保ち、すべての物理的観測量がグローバルゲージ群に対して不変であるため、量子場理論と整合性を持つ。
• このモデルは、ヒルベルト空間の基底がゲージ不変な古典的状態によって形成されるという点で、量子場理論が決定論的古典枠組みから生じうることを示している。
• フェルミオン場についても同様に扱い、ディラック海と負エネルギー状態は離散的格子とカットオフを用いて処理し、決定論とゲージ不変性を保った。
• 大規模なゲージ群は、観測不能な自由度の粗大化に起因する非可逆的かつ情報損失を伴う力学を表していると解釈され、量子の不確実性が未観測自由度の粗大化に起因する可能性を示唆している。