[論文レビュー] Quantum mechanics without spacetime III: a proposal for a non-linear Schrodinger equation

T. P. Singh|ArXiv.org|Jun 24, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、粒子の質量が臨界値 $m_c$ に近づくと非線形性が顕著になる質量依存の非線形シューリング方程式の修正を提案する（$m_c$ はプランク質量より小さい）。この修正は $m = m_c$ において線形性を正確に保ち、測定時の波動関数の収束を説明できる非線形力学を生み出す。また、修正された分散関係を通じて調和振動子のエネルギー準位に測定可能なシフトが予測される。

ABSTRACT

It is proposed that the Schrodinger equation for a free point particle has non-linear corrections which depend on the mass of the particle. It is assumed that the corrections become extremely small when the mass is much smaller or much larger than a critical value (the critical value being related to but smaller than Planck mass). The corrections become significant when the mass is close to this critical value and could play a role in explaining wave-function collapse. It appears that such corrections are not ruled out by present day experimental tests of the Schrodinger equation. Corrections to the energy levels of a harmonic oscillator are calculated.

研究の動機と目的

• シューリング方程式に対する質量依存の非線形補正の可能性を検討し、特に臨界質量スケール $m_c$ に近い領域でその効果を明らかにすること。
• 素粒子とプランク質量の間の質量範囲において、非線形効果が現れる可能性がある量子力学の実験的検証を促進すること。
• 波動関数の収束が、質量依存の非線形性に起因して自然に生じる理論的枠組みを提供すること。
• このような非線形性が、既存の量子線形性に関する実験的制約と整合的であるかどうかを調査すること。

提案手法

• シューリング方程式のハミルトニアン・ジャコビ形式における非線形項を修正する質量依存関数 $A(m/m_c)$ を導入する。
• 複素作用 $S$ を用いてシューリング方程式を書き直し、修正された運動項を持つ $S(q,t)$ に対する非線形方程式を導出する。
• $\tilde{q} = q / \sqrt{1 - A}$ および $\tilde{\hbar} = \hbar / (1 - A)$ を用いた変換を定義し、非線形方程式を新しい変数における線形シューリング方程式に類似した形に変換する。
• 非線形波動関数 $\psi$ と線形波動関数 $\psi_N$ の間に $\psi_N = \psi^{1 - A}$ の関係を設定することで、プランク定数を再スケーリングした線形理論への写像が可能になる。
• ポテンシャル項を含めた調和振動子にこの形式を適用し、変換された変数を用いて修正されたエネルギー準位を導出する。
• エネルギー準位のシフトを $E = (n + 1/2) \hbar \omega / \sqrt{1 - A}$ として導出し、$A \neq 0$ のとき標準量子力学からの測定可能なずれが生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューリング方程式に対する非線形補正は、質量依存的に現れ得るか？特に臨界質量 $m_c$ に近い領域で顕著になるか？
• RQ2 このような非線形性が、系の質量が $m_c$ を超える際に観測される波動関数の収束を説明できるか？
• RQ3 提案された非線形補正は、現在の量子力学の実験的検証と整合的であるか？
• RQ4 このような非線形性が、調和振動子のような量子系に及える観測可能な影響は何か？

主な発見

• 提案された非線形シューリング方程式は、粒子の質量が臨界質量 $m_c$ に等しいときに正確に線形性を保つため、根本的な転移点を示唆している。
• 非線形性は重ね合わせの原理を破る：個々の状態 $\psi_{1NL}$ と $\psi_{2NL}$ は非線形方程式を満たすが、それらの重ね合わせは満たさないため、波動関数の収束を説明できる可能性がある。
• 調和振動子においてはエネルギー準位が $E = (n + 1/2) \hbar \omega / \sqrt{1 - A(m/m_c)}$ にシフトし、$A \neq 0$ のとき標準量子力学からのずれが生じる。
• $\tilde{q}$, $\tilde{\hbar}$, $\psi_N$ を用いた線形理論への変換により、非線形理論が再スケーリングされた定数を用いた線形理論と等価であることが示され、新しいフレームでユニタリティが保たれる。
• $m \ll m_c$ または $m \gg m_c$ のとき $A \to 0$ となるため、標準量子力学とのずれは生じず、$m_c$ の近傍でのみ顕著な効果が現れる。このため、その領域での実験的検証が可能である。
• この枠組みは、非線形性が交換関係の根本的変化に関連している可能性を示唆しており、プランクスケールで現れる可能性があるが、$m_c$ は $m_p$ よりも数個のオーダー小さい可能性がある。