[論文レビュー] Quantum Merlin Arthur with Exponentially Small Gap

Bill Fefferman, Cedric Yen-Yu Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、指数的になくすギャップをもつ量子メルリン＝アーサー証明系—QMA_expと呼ばれる—が正確にPSPACEを特徴づけることを確立し、逆指数的検証ギャップをもつ問題の複雑性を解消した。著者らは、このような量子プロトコルがいかなるPSPACE問題でも解けること、および指数的になくすギャップをもつ正確な局所ハミルトニアン問題がPSPACE完全であることの両方を示すことにより、QMA_exp = PSPACEを証明した。これは、ギャップが多項式サイズより小さくなると、QMAからPSPACEへの複雑性の急激なジャンプを示している。

ABSTRACT

We study the complexity of QMA proof systems with inverse exponentially small promise gap. We show that this class can be exactly characterized by PSPACE, the class of problems solvable with a polynomial amount of memory. As applications we show that a "precise" version of the Local Hamiltonian problem is PSPACE-complete, and give a provable setting in which the ability to prepare PEPS states is not as powerful as the ability to prepare the ground state of general Local Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 完成度と整合性のギャップが指数的に小さい場合のQMA証明系の計算的パワーを特徴づけること。
• 指数的になくすギャップをもつ場合でも、局所ハミルトニアン問題がQMA完全のままであるかどうかを特定すること。
• 量子オракルの文脈において、PEPS状態と一般の局所ハミルトニアン基底状態の計算的パワーを比較すること。
• 指数的になくすギャップをもつ状況下での局所ハミルトニアン問題の正確な複雑性分類を確立すること。

提案手法

• 著者らは、PSPACE ⊆ QMA_exp を量子位相推定プロトコル（指数的になくす誤差をもつ）を用いて示すことにより、QMA_exp = PSPACE を証明した。
• Kitaevの局所ハミルトニアン問題のQMA完全性証明を適応し、指数的になくすギャップをもつ正確なバージョンが依然としてQMA_exp完全であることを示した。
• ハミルトニアンの固有値が指数的に小さい分離をもつ場合に、0と非ゼロの固有値を区別するために、1つの制御キュービットを用いた位相推定を用いた。
• 主要な技術的要素として、多項式リソースを用いて誤差が 2^{-poly(n)} 以内に抑えられる e^{-iAt} の効率的実装が行われ、高精度な固有値推定が可能になった。
• 古典的多項式空間内で、k-局所ハミルトニアンの基底状態エネルギーについて二分探索を行い、エネルギーを多項式精度で計算することはFPSPACE完全であることを示した。
• PEPS状態と局所ハミルトニアン基底状態のための量子オラクルを比較し、PP = PSPACE でない限り、後者が厳密に強力であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的になくすギャップをもつQMA_expという複雑性クラスは、PSPACEに等しいか？
• RQ2 指数的になくすギャップをもつ局所ハミルトニアン問題は、依然としてPSPACE完全か？
• RQ3 特定の局所ハミルトニアンの基底状態であるPEPS状態は、一般の局所ハミルトニアン基底状態の計算的パワーを模倣できるか？
• RQ4 PEPSのための量子オラクルと一般の局所ハミルトニアンのための量子オラクルの計算的パワーとの関係は何か？
• RQ5 PEPS状態を準備できる能力があれば、局所ハミルトニアン基底状態を用いて解けるすべての問題を解けるのか？

主な発見

• 完成度と整合性のギャップが指数的に小さいQMAプロトコルで検証可能な問題のクラスQMA_expは、正確にPSPACEに等しい。
• ギャップ b−a > 2^{-poly(n)} をもつ正確なk-局所ハミルトニアン問題は、3 ≤ k ≤ O(log n) に対してPSPACE完全である。
• k-局所ハミルトニアンの基底状態エネルギーを多項式精度で計算することは、FPSPACE完全な問題である。
• QMA_exp = PSPACEの証明は、多項式リソースで指数的に小さい区別可能性を達成する修正された位相推定プロトコルに依存している。
• 無限誤差量子計算の文脈において、PEPS状態は一般の局所ハミルトニアン基底状態より厳密に弱いが、PP = PSPACE でない限りそうである。
• 局所ハミルトニアン問題は、多項式ギャップをもつとQMA完全から、指数的になくすギャップをもつとPSPACE完全に移行し、複雑性の鋭い閾値を示している。