[論文レビュー] Quantum Monte Carlo determinantal algorithm without Hubbard-Stratonovich transformation: a general consideration

A. N. Rubtsov|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2003

Theoretical and Computational Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハッブル＝ストラトニヴィッチ変換を回避するため、作用をガウス型部分と摂動的相互作用部分に分割することで、相互作用するフェルミ粒子に対する連続時間量子モンテカルロデターミナントアルゴリズムを提案する。この方法は、相互作用のべき級数展開に基づき、符号問題と計算コストを分析し、従来の手法と比較して非局所的および時間非局所的相互作用において有利なスケーリングを示す。

ABSTRACT

Continuous-time determinantal algorithm is proposed for the quantum Monte Carlo simulation of the interacting fermions. The scheme does not invoke Hubbard-Stratonovich transformation. The fermionic action is divided into two parts. One of them contains the interaction and certain additional terms; another one is purely Gaussian. The first part is considered as a perturbation. Terms of the series expansion for the partition function are generated in a random walk process. The sign problem and the complexity of the algorithm are analyzed. We argue that the scheme should be useful particularly for the systems with non-local interaction.

研究の動機と目的

• 相互作用するフェルミ粒子のための量子モンテカルロアルゴリズムを開発し、ハッブル＝ストラトニヴィッチ変換を回避すること。
• 特に非局所的および長距離相互作用において、既存のデターミナントQMC手法の計算非効率性と符号問題に対処すること。
• 遅延相互作用や散逸を伴う系のような時間非局所的相互作用を持つ系のシミュレーションを可能にすること。
• 局所的相互作用では標準的手法と同等の計算スケーリングを達成するとともに、非局所的系においては性能を向上させること。
• 符号問題を最小限に抑える最適化パラメータを備えた連続時間デターミナントQMCの一般枠組みを提供すること。

提案手法

• フェルミオン作用をガウス型部分 $ S_0 $ と摂動的部分 $ W $ に分割し、$ S_0 $ には運動エネルギーとパrameter化されたシフト $ \alpha $ を含める。
• 相互作用のべき級数展開に基づき、分割関数を展開し、相互作用頂点の確率的ウォークによって項を生成する。
• フェルミオン演算子の縮約を表す行列式 $ D $ は、$ S_0 $ から導かれる完全なプロパゲーター $ G_0 $ を用いて計算される。
• パラメータ $ \alpha $ を最適化して平均重み $ \overline{|W|} $ を最小化し、符号問題と自己相関時間の低減を図る。
• 連続した虚数時間で動作し、時間離散化に起因する系統的誤差を回避する。
• アルゴリズムは連続時間枠組みで定式化されているが、積分を和に置き換えることで離散時間版を導出可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハッブル＝ストラトニヴィッチ変換を用いずにデターミナントQMCアルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 非局所的相互作用に対して、このようなアルゴリズムの計算スケーリングは標準的手法と比べてどうなるか？
• RQ3 パラメータ $ \alpha $ の最適選択によって符号問題を効果的に軽減できるか？
• RQ4 時間非局所的相互作用を持つ系に対しても、この方法は有利なスケーリングを維持するか？
• RQ5 このアルゴリズムは長距離または遅延相互作用を伴う系に適用可能か？

主な発見

• 一般のハッブル型モデルでは、1モンテカルロステップあたりの計算コストは $ (\beta U N)^2 $ に比例し、ハミルトニアン系では $ N^2 $ に比例する。これは、標準的手法（ハッブル＝ストラトニヴィッチに基づく）と同等のスケーリングである。
• 非局所的相互作用では、このアルゴリズムは局所的相互作用とほぼ同等の計算コストを維持するが、従来の手法では $ \beta N^2 / \tau_0 $ に比例するスケーリングとなる。
• 符号問題はハッブルモデルのヒルシュ法と同等のものであるが、$ \alpha \approx \overline{n} $ を選ぶことで軽減可能であり、反発的相互作用では最適値が1付近に位置する。
• 半フィルイン状態では、$ \alpha = 1/2 $ のとき、奇数の $ k $ に対して $ \Omega_k = 0 $ となり、符号キャンセレーションの対称性由来の現象が生じ、確率的ウォークにおいて特別な取り扱いが要する。
• 補助場の不在と連続時間形式のおかげで、遅延相互作用などの時間非局所的相互作用のシミュレーションが可能である。
• このアルゴリズムは一般性を持ち、積分を和に置き換えることで離散時間版に適応可能であり、同じスケーリング特性を保持する。