[論文レビュー] Quantum nonexpander problem is quantum-Merlin-Arthur-complete

Adam D. Bookatz, Stephen P. Jordan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、量子チャネルが良好な量子エクスパンダーでないかどうかを特定する問題—量子非拡張問題—がQMA完全であることを証明しており、標準的な複雑性仮定のもとで、量子チャネルのスペクトルギャップを推定することは計算的に困難であることを示している。この結果は、チャネルが良好なエクスパンダーでない場合に量子証明により効率的に検証可能である一方で、それが良好なエクスパンダーである場合に効率的な量子証明が存在しないことを示しており、量子混合ダイナミクスの特徴づけにおける根本的な限界を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

A quantum expander is a unital quantum channel that is rapidly mixing, has only a few Kraus operators, and can be implemented efficiently on a quantum computer. We consider the problem of estimating the mixing time (i.e., the spectral gap) of a quantum expander. We show that the problem of deciding whether a quantum channel is not rapidly mixing is a complete problem for the quantum Merlin-Arthur complexity class. This has applications to testing randomized constructions of quantum expanders and studying thermalization of open quantum systems.

研究の動機と目的

• 量子チャネルが悪い量子エクスパンダーであるかどうかを、そのスペクトルギャップによって定義して形式化すること。
• この意思決定問題の計算複雑性を、量子複雑性クラスQMAにおいて確立すること。
• チャネルが良好なエクスパンダーでない場合の検証が量子証明により効率的に可能である一方で、それが良好なエクスパンダーである場合の検証ができないことを示すこと。
• この問題を物理的系、特に量子チャネルを介して熱的に均衡するオープン量子系に結びつけること。
• 他の問題がQMA完全であることを証明する基盤となる完全性結果を提供すること。

提案手法

• D-正則で、ユニタルで、完全正定値で、トレースを保存するスーパーオペレーターとして量子エクスパンダーを定義し、各Kraus作用素が多項式対数時間サイズの量子回路によって実装可能であることを前提とする。
• 量子非拡張問題を、promise意思決定問題として定式化：α-収縮でないチャネルとβ-収縮であるチャネルを区別する問題であり、α > βは多項式的に分離されている。
• 制御された量子エクスパンダーと、制御ユニタリ変化に基づく量子状態準備プロトコルを用いて、QMA完全性への還元を構築する。
• 混合速度の指標としてチャネルのスペクトルギャップを用い、ギャップは1 − κとして定義され、κはトレースなし演算子におけるFrobeniusノルムにおける収縮係数である。
• チャネルがmキュービットの系に作用し、ユニタリUαによって定義され、弱結合近似におけるマスター方程式に従って動的支配されることを活用する。
• 完全性を証明するため、制御エクスパンダーの性質と状態発展のトレースノルムを用いて、任意のQMA問題がこの非拡張意思決定問題へ多項式時間の量子還元可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子チャネルが良好なエクスパンダーでないかどうかを特定する問題は、量子複雑性クラスQMAにおいて計算的に困難であるか？
• RQ2 チャネルが少数の効率的に実装可能なKraus作用素によって指定される場合、そのスペクトルギャップを効率的に推定できるか？
• RQ3 非拡張性の量子証明の存在が、量子エクスパンダーの検証における根本的な非対称性を示唆するか？
• RQ4 オープン量子系の熱化ダイナミクスは、量子チャネルのスペクトルギャップを推定する問題に還元可能か？
• RQ5 量子非拡張問題はQMA完全であるか、つまりQMAに属するすべての問題の困難さを完全に反映しているか？

主な発見

• 量子非拡張問題はQMA完全であり、QMA複雑性クラスに属する最も難しい問題の一つである。
• スペクトルギャップが1から定数で分離されている場合、例えばα > 0.98であっても、問題はQMA完全のままである。
• 証明により、チャネルが量子エクスパンダーでない場合の検証は量子証明により効率的に可能であるが、それが良好なエクスパンダーであることを検証するには効率的な量子証明が存在しない（QMA = coQMAでない限り）。
• 量子チャネルのスペクトルギャップは、Frobeniusノルムにおける収縮係数κを用いて定義される：すべてのトレースなしAに対して∥Φ(A)∥F ≤ κ∥A∥F が成り立つ。
• 還元には、Ben-Aroya, Schwartz, and Ta-Shmaの明示的量子エクスパンダーに基づく制御エクスパンダー構成が用いられ、次数Dは2のべきであり、収縮係数λ < 1である。
• この結果は、量子チャネルの混合時間の推定がQMA = BQPでない限り計算的に困難であることを示しており、量子エクスパンダー問題自体がQMAに属するにはQMA = coQMAでないといけないことを示唆している。