[論文レビュー] Quantum Parrondo's games using quantum walks

Adrian P. Flitney|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元量子ウォークを用いて、パラドックスの量子版を提案する。2つの偏りのある量子コイン演算子（A および B）は、個別に作用させると walker 位置に負のドリフトを引き起こすが、それらを交互に適用することで一時的な干渉駆動型正のドリフトが生じる。主な結果は、有限時間ステップの間のみ観測可能な一時的量子パラドックス効果である。

ABSTRACT

We study a quantum walk in one-dimension using two different "coin" operators. By mixing two operators, both of which give a biased walk with negative expectation value for the walker position, it is possible to reverse the bias through interference effects. This effect is analogous to that in Parrondo's games, where alternating two losing (gambling) games can produce a winning game. The walker bias is produced by introducing a phase factor into the coin operator, with two different phase factors giving games $A$ and $B$. We give the range of phases for which the Parrondo effect can be obtained with $A$ and $B$ played alternately or in other (repeated) deterministic sequences. The effect is transitory. For sufficiently large times the original bias resumes.

研究の動機と目的

• 量子ウォークにおける量子干渉が、2つの負けゲームが組み合わさって勝利結果をもたらす一時的パラドックス効果を生じるかどうかを調査すること。
• 離散時間量子ウォークフレームワークにおいて位相シフト付きコイン演算子を用いて、量子パラドックスのゲームをモデル化すること。
• AB や ABB、ABB B などのシーケンスを適用した際に、walker 位置の期待値が正となるような、2つの量子コイン演算子における位相因子のパラメータ範囲を特定すること。
• walker 位置の時間依存的ダイナミクスを分析し、効果の一時的性質を特定すること。

提案手法

• |L⟩ および |R⟩ を持つコインヒルバート空間と、|x⟩ を持つ位置ヒルバート空間を用いて、1次元格子上での離散時間量子ウォークをモデル化する。
• 位相因子 α および β を持つ2つの量子コイン演算子 Â(α) および ˆB(β) を定義する。ρ = 1/2 によりコイン操作がアンバイアスとなるようにし、α, β ∈ [−π/2, π/2] が偏りの方向を制御する。
• 各ステップで walker の状態を更新するためのユニタリ発展演算子 Û = (Ŝ ⊗ P_R + Ŝ⁻¹ ⊗ P_L)(I_P ⊗ Û_coin) を使用する。Ŝ はチラリティに応じて位置をシフトする。
• 対称的ダイナミクスを保証し、標準的なハダマードウォークとの比較を可能にするために、初期状態を |ψ₀⟩ = (|0,L⟩ − |0,R⟩)/√2 に設定する。
• AB, ABB, ABBB などの繰り返しシーケンスを n ステップにわたり適用し、|ψ_f⟩ = (B̂ ⊗ Â)^n |ψ_i⟩ により状態を発展させる。
• 時間経過に伴う walker 位置の期待値 ⟨x⟩ を計算し、その符号と振動的挙動を分析することで、一時的パラドックス効果を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コイン演算子に位相因子による偏りをもたせた2つの個別に負けの量子ウォークを交互に適用することで、一時的な勝利結果が得られるか？
• RQ2 コイン演算子 Â および ˆB における位相パrameter α および β のどの範囲が、繰り返しシーケンスにおいて walker 位置の期待値が正となるか？
• RQ3 一時的性質を示す量子パラドックス効果は、⟨x⟩ の時間発展においてどのように現れるか？勝利行動はどの程度の期間持続するか？
• RQ4 期待値の振動パターンおよび減衰は、シーケンス（例：AB と ABB と ABBB）および位相パrameter の選択にどのように依存するか？

主な発見

• 一時的量子パラドックス効果は、α および β の特定のパラメータ範囲でのみ観測され、AB, ABB, ABBB シーケンスでは100ステップ後に正の ⟨x⟩ を示す。
• α = β の場合、システムは単一の偏りのあるウォークとして振る舞い、t = 50 で ⟨x⟩ ≈ −15.0 sin α、t = 100 で ⟨x⟩ ≈ −29.6 sin α となる。これは負けゲームであることを確認する。
• AB, ABB, ABBB などのシーケンスは、ある範囲の α, β に対して正の ⟨x⟩ を生じさせ、量子干渉による勝利結果を示すが、これは有限時間ステップに限られる。
• 期待値 ⟨x⟩ は、下向きのトレンド上に振動的挙動が重畳されており、振幅および周期はシーケンス長が延びる（AB → ABB → ABBB）に従って増加する。
• 十分に大きな t では、すべてのシーケンスが最終的に負の ⟨x⟩ に戻るため、効果の一時的性質が確認される。
• α を小さくすると ⟨x⟩ の下向き勾配が小さくなり、β を小さくすると振動周期が長くなるため、位相パラメータによる一時的ダイナミクスの制御が可能である。