[論文レビュー] Quantum Proofs for Classical Theorems

Andrew Drucker, Ronald de Wolf|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 103被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、量子計算技術——例えば量子クエリアルゴリズム、量子情報理論、量子クエリ下界——を用いて、理論的コンピュータサイエンスおよび数学における古典的定理を証明する方法を調査する。量子にインspiredされた手法が、通信複雑性、回路下界、多項式近似、行列理論などの分野で、洗練され、強力で、しばしばより単純な証明を提供することを示している。

ABSTRACT

Alongside the development of quantum algorithms and quantum complexity theory in recent years, quantum techniques have also proved instrumental in obtaining results in classical (non-quantum) areas. In this paper we survey these results and the quantum toolbox they use.

研究の動機と目的

• 量子技術が、古典的数学的および計算的定理に対して驚きのあり、洗練された証明をもたらせることを示すこと。
• 量子ツール——例えば量子クエリ複雑性や量子情報理論——の非量子的分野への応用を調査すること。
• 量子にインスパイアされた推論が、通信複雑性や回路下界などの分野で、より強力またはより単純な境界を導く方法を説明すること。
• 物理的量子コンピュータが存在しない状況でも、量子的直感を証明技法として用いる動機を提示すること。
• 量子手法と古典的問題との間の関係——例えばホーンの問題や多項式近似——を強調すること。

提案手法

• 量子クエリアルゴリズムを活用して、式サイズや通信複雑性などの古典的複雑性測度の下界を導出する。
• エントロピーおよび相対エントロピー（例えばフォン・ノイマンの発散度）などの量子情報理論的ツールを適用し、組合せ的対象のサイズを束縛する。
• 量子アドバーザリ法を用いて、ブール関数の感度および次数の下界を確立する。
• 古典的状況において量子にインスパイアされた推論を活用する——例えばPostBQPを用いて、複雑性クラスの閉包性を証明する。
• シミュレーション技術を介して、量子通信下界を古典的回路の深さおよび式サイズの下界に変換する。
• ランダム行列を量子状態として扱うような量子アナロジーを用い、表現論や漸近的組合せ論の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子技術は、複雑性理論や組合せ論における古典的定理に対して、より単純またはより強い証明を提供できるか？
• RQ2 量子クエリ複雑性は、回路や意思決定木などの古典的計算モデルの下界を導出するためにどのように利用できるか？
• RQ3 量子情報理論——特にエントロピーおよび相対エントロピー——は、組合せ的集合のサイズを束縛するためにどのような方法で利用できるか？
• RQ4 量子にインスパイアされた手法は、回路下界や完全不変量の存在といった、古典的複雑性分野の未解決問題を解決するのに役立つだろうか？
• RQ5 ポストセレクションや非物理的量子モデルを含む状況でも、量子的推論を証明ツールとしてどれほど活用できるか？

主な発見

• 量子アドバーザリ法を介して、パリティ関数やメジャリティ関数を含む多くの関数に対して、量子クエリ下界が、式サイズの2乗下界を示す。
• 量子情報理論的技術により、ハミング重みが有界な集合のサイズに対するタイトな下界が得られ、例えば $ \sum_{i=0}^{\alpha n} \binom{n}{i} \leq e^{nH(\alpha)} $ がエントロピーの劣加法性を用いて導出される。
• 量子アドバーザリ法は、ランダム関数に対して、式サイズのほぼ立方下界を提供し、既知の限界に近づく。
• 量子技術を用いて、ホーンの問題に関連する表現論の結果を再証明し、固有値の条件と群表現制約の等価性を示した。
• 量子にインスパイアされた推論を用いて、ランダム行列モデルを介して、半標準ヤング盤の漸近的形状に関するヨハンソンの定理を証明した。
• 本稿の分析でPostBQPが用いられたことで、複雑性クラスPPの閉包性に関する新しい証明が得られ、非物理的量子モデルが証明ツールとしての力を示した。