[論文レビュー] Quantum supremacy and high-dimensional integration

Juan Miguel Arrazola, Patrick Rebentrost+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続変数量子計算と高次元積分の間の直接的な関係を確立し、CV-IQP回路の出力確率が高次元における振動関数の積分に一致することを示している。これらの積分が古典的には困難であることを証明しており、#P困難な問題や任意の有界関数と同等である。したがって、多項式階層が第3レベルに崩壊しない限り、CV-IQP回路からの近似的なサンプリングは古典的に有効にシミュレートできないことが示された。これは、有限の圧縮と測定精度のもとでも成り立つ。

ABSTRACT

We establish a connection between continuous-variable quantum computing and high-dimensional integration by showing that the outcome probabilities of continuous-variable instantaneous quantum polynomial (CV-IQP) circuits are given by integrals of oscillating functions in large dimensions. We prove two results related to the classical hardness of evaluating these integrals: (i) we show that there exist circuits such that these integrals are approximations of a weighted sum of #P-hard problems and (ii) we prove that calculating these integrals is as hard as calculating integrals of arbitrary bounded functions. We then leverage these results to show that, given a plausible conjecture about the hardness of computing the integrals, approximate sampling from CV-IQP circuits cannot be done in polynomial time on a classical computer unless the polynomial hierarchy collapses to the third level. Our results hold even in the presence of finite squeezing and limited measurement precision, without an explicit need for fault-tolerance.

研究の動機と目的

• 連続変数量子計算と高次元積分の間の理論的関係を確立すること。
• CV-IQP回路の出力確率が高次元空間における振動関数の積分に一致することを示すこと。
• これらの積分を評価することが、#P困難な問題や任意の有界関数を解くのと同等に難しいことを示すこと。
• 妥当な複雑性理論的予想のもとで、CV-IQP回路からの近似的なサンプリングが古典的に非効率であることを証明すること。
• これらの量子優位性の結果が、有限の圧縮と測定精度のもとでも成立することを示し、誤り耐性を必要としないこと。

提案手法

• 運動量圧縮状態を入力とし、位置正準座標における対角的ユニタリ操作と、ホモダイン測定を用いてCV-IQP回路をモデル化する。
• 出力振幅を高次元積分として表現する：$ A_f(s) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{D_L} e^{if(q)} e^{-is\cdot q} dq^n $、ここで $ f $ は多項式である。
• 特定の多項式 $ f $ に対して、この積分が任意の精度で#P困難な問題の重み付き和を近似できることを証明する。
• これらの積分を計算することが、任意の有界関数の積分を計算することと同等に難しいことを示し、これは古典的リソースが指数的必要であることが知られている。
• Payley-Zigmund不等式を用いて反濃度境界を適用し、出力確率が定数の確率で小さくならないことを示す。
• Markovの不等式と集中性の議論を用いて、有限サンプリングからの出力確率推定誤差を抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CV-IQP回路の出力確率は、振動関数の高次元積分として表現可能か？
• RQ2 これらの積分は古典的コンピュータにとって計算的に困難であり、その複雑性クラスは何か？
• RQ3 有限の圧縮と測定精度といった現実的な条件下でも、CV-IQP回路の量子優位性の結果は成立するか？
• RQ4 標準的な複雑性理論的仮定のもとで、CV-IQP回路からの近似的なサンプリングは古典的に非現実的か？
• RQ5 CV-IQP回路は、高次元積分における実用的意義のある問題と関連づけられるか？

主な発見

• CV-IQP回路の出力確率は、高次元空間における振動関数の積分と数学的に同等である。
• 特定のCV-IQP回路に対しては、対応する積分が任意の精度で#P困難な問題の重み付き和を近似可能である。
• これらの積分を評価することは、任意の有界関数の積分を計算することと同等に難しく、これは最悪ケースで指数的古典的時間が必要であることが知られている。
• これらの積分が平均的に#P困難に近似可能であるならば、多項式階層が第3レベルに崩壊しない限り、いかなる古典的アルゴリズムでもCV-IQP回路の出力分布からの有効なサンプリングは不可能である。
• 有限の圧縮と限られた測定精度のもとでも、量子優位性の結果は成立し、誤り耐性を必要としない。
• 反濃度性が成立する：与えられた結果の出力確率が $ \frac{1}{2} \ell^{-n} $ 以上である確率は少なくとも 1/4 である。これにより、サンプリングにおける確率が消えないことが保証される。