[論文レビュー] Quantum Systems as results of Geometric Evolutions

Ricardo Gallego Torromé|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2005

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、プランクスケールにおける決定論的でフィンスラー幾何的力学から量子力学が生じることを提案している。ここで量子状態は、フィンスラー幾何からリーマン幾何への幾何的遷移を経て進化する実在的状態の同値類として生じる。主な結果として、幾何的および統計的原理から量子の前ヒルベルト空間とユニタリ時間発展が導かれ、自然なデコherence機構と宇宙定数問題の解決が可能となる。

ABSTRACT

In the framework of deterministic finslerian models, a mechanism producing dissipative dynamics at the Planck scale is discussed. It is based on a geometric evolution from Finsler to Riemann structures defined on the fiber bundle ${ TM} o { M}$. Quantum states are equivalence classes, composed by the configurations that evolve through an internal dynamics drive by the above geometric evolution. Each equivalence class is conformed by the ontological states that evolve to the same final state. The existence of an hermitian scalar product in an associated linear space is discussed and related with the quantum pre-Hilbert space. This hermitian product emerges from geometric and statistical considerations. Our scheme recovers the main ingredients of the usual Quantum Mechanics. Several consequences are discussed and compared with the predictions of the standard Quantum Mechanics. A natural solution of the cosmological constant problems is proposed, as well as a mechanism for the absence of quantum interferences at classical scales.

研究の動機と目的

• プランクスケールにおける決定論的フィンスラー幾何的力学に基づく予量子理論を構築し、それが有効理論として標準量子力学を再現すること。
• 測定問題、量子状態の本質、幾何的または因果的解釈の欠如といった、量子力学の基礎的問題を解決すること。
• 幾何的制約から小さな有限な真空エネルギーを導出し、宇宙定数問題を解決すること。
• 普遍的な最大加速度と幾何的デコherenceにより、巨視的スケールでの量子干渉の不在を説明すること。
• 決定論的力学系から量子系へのファンクター記法の写像を確立し、すべての量子系がこのような枠組みから生じうることを示すこと。

提案手法

• モデルは接束 $TM \to M$ 上にハミルトニアン＝ランダース構造を用い、フィンスラー幾何からリーマン幾何への幾何的遷移が力学を定義する。
• 量子状態は、内部力学に従って同じ最終状態に至る実在的状態の同値類として定義される。
• 幾何的および統計的考察からヘルミート内積が導かれ、これにより量子の前ヒルベルト空間が得られる。
• 遷移振幅の時間発展は外部時間パラメータ $s$ に従い、$U_s$-発展は標準量子力学の時間発展に類似している。
• 2次元の時間構造が導入され、1つの時間 $t$ が内部力学を記述し、もう1つの時間 $s$ が外部発展を記述する。これにより凸不変性と位相不変性が実現される。
• S行列がユニタリであることが示され、デコherenceのメカニズムは最大加速度スケール $A_{\text{max}} \sim 10^{52}\, \text{m/s}^2$ に起因し、大スケールでの干渉を抑制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学は、プランクスケールにおける決定論的で幾何的力学から有効理論として導けるか？
• RQ2 ヒルベルト空間とユニタリ時間発展を含む標準量子形式主義は、より基本的な幾何的・統計的枠組みからどのように生じるか？
• RQ3 量子系におけるデコherenceの起源は何か？環境の相互作用ではなく、普遍的な幾何的制約によって説明可能か？
• RQ4 提案されたモデルは、幾何的および力学的制約を通じて、宇宙定数問題をどのように解決するか？
• RQ5 量子相関の顕在的非局所性は、基本的な幾何的限界によって制限され得るか？その限界は falsifiable（反証可能）か？

主な発見

• 量子の前ヒルベルト空間とヘルミート内積は、フィンスラー幾何的枠組みにおける幾何的および統計的考察から自然に導かれる。
• S行列のユニタリ性は凸不変性と2次元時間構造から導かれ、標準量子力学と整合性を保つ。
• 最大加速度スケール $A_{\text{max}} \sim 10^{52}\, \text{m/s}^2$ が導入され、大スケールでの量子干渉を抑制し、古典的極限を説明する。
• 最大エネルギースケールの存在と真空に対する幾何的制約のおかげで、有限で小さな宇宙定数が予測される。
• 光の速度は一定ではなく、幾何的ゆらぎのため遅延する。$dx/ds = c\sqrt{1 - a^2/a_{\text{max}}^2}$ であり、高精度実験によって反証可能である。
• この枠組みは、決定論的力学系から量子系へのファンクター記法の写像を示唆しており、すべての量子系がこのような予量子幾何的力学から生じうることを示唆する。