[論文レビュー] Quantum Tomography of Semi-Algebraic Sets with Constrained Measurements

Michael Kech, Michael M. Wolf|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、密度行列の半代数的部分集合に制約されたすべての量子状態を一意に区別するのに必要な、制約付き量子測定（特にランク1のPOVM、フォンノイマン測定、局所的観測量）の数に対する一般化された上限を確立する。半代数的集合 S に対して、k(n−1) > 2 dim(S) が成り立つとき、k 個の一般的フォンノイマン測定が十分であることが示され、ランク ≤ r の低ランク状態に対しては、k(n−1) > 4r(n−r)−2 が成り立つとき k 個の測定で十分である。これらの結果は、実代数幾何学の手法を用いて得られる。

ABSTRACT

We analyse quantum state tomography in scenarios where measurements and states are both constrained. States are assumed to live in a semi-algebraic subset of state space and measurements are supposed to be rank-one POVMs, possibly with additional constraints. Specifically, we consider sets of von Neumann measurements and sets of local observables. We provide upper bounds on the minimal number of measurement settings or outcomes that are required for discriminating all states within the given set. The bounds exploit tools from real algebraic geometry and lead to generic results that do not only show the existence of good measurements but guarantee that almost all measurements with the same dimension characteristic perform equally well. In particular, we show that on an $n$-dimensional Hilbert space any two states of a semi-algebraic subset can be discriminated by $k$ generic von Neumann measurements if $k(n-1)$ is larger than twice the dimension of the subset. In case the subset is given by states of rank at most $r$, we show that $k$ generic von Neumann measurements suffice to discriminate any two states provided that $k(n-1)>4r(n-r)-2$. Furthermore, we obtain corresponding results for low-rank matrix recovery of hermitian matrices and the phase retrieval problem.

研究の動機と目的

• 状態空間の半代数的部分集合に制約された量子状態を一意に特定するために必要な最小の測定設定数を特定すること。
• 構造的制約下でのランク1のPOVM、フォンノイマン測定、局所的観測量の状況を分析すること。
• 同じ次元性を持つほぼすべての測定設定に対して成り立つ、次元に基づいた一般化された境界を導出すること。
• 同様の幾何的制約下で、低ランク行列回復および位相再構成問題への結果の拡張すること。

提案手法

• 実代数幾何学の道具を用いて、量子状態の半代数的集合の次元と構造を特徴付ける。
• 一般性の議論を適用し、与えられた次元のほぼすべての測定設定が、状態識別において同等に機能することを示す。
• ヒルベルト空間次元 n と状態集合の次元に基づいて、測定設定数 k の境界を導出する。
• ランク制約付き状態（ランク ≤ r）を考察し、k 個の一般的フォンノイマン測定が十分であるためのより鋭い境界 k(n−1) > 4r(n−r)−2 を導出する。
• 幾何的制約と測定モデルを適応させることで、低ランクエルミート行列回復および位相再構成の枠組みを拡張する。
• 代数幾何学的技法を用いて、適切な次元性を持つ一般的測定が、特定のキャリブレーションを要せず、完全な区別を達成できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子状態の半代数的部分集合に含まれるすべての状態を一意に区別するのに必要な最小の測定設定数は何か？
• RQ2 一般的フォンノイマン測定は、半代数的集合内の状態をどのように識別するか？ そして、その性能が保証される条件は何か？
• RQ3 状態集合の次元とランク制約を用いて、必要な測定数の明示的境界を導出できるか？
• RQ4 固定次元の一般的測定設定は、集合全体にわたり、どの程度最適な状態識別を達成できるか？
• RQ5 同様の幾何的制約下で、結果を低ランク行列回復および位相再構成にどのように拡張できるか？

主な発見

• 任意の n 次元ヒルベルト空間の半代数的部分集合 S に対して、k(n−1) > 2 dim(S) が成り立つとき、k 個の一般的フォンノイマン測定が S 内のすべての状態を区別するのに十分である。
• ランクが最大 r の状態の部分集合に対しては、k(n−1) > 4r(n−r)−2 が成り立つとき、k 個の一般的フォンノイマン測定が十分である。
• 境界は一般的である：必要な最小設定と同一次元性を持つほぼすべての測定設定が、同等に機能する。
• 結果は、低ランクエルミート行列回復に一般化され、必要な測定数に関する類似の境界が得られる。
• 位相再構成問題は、同じ幾何的枠組みの下で取り扱われ、測定設定に関する類似の境界が導出される。
• 解析から、最小測定数はヒルベルト空間次元と状態集合の内因次元の相互作用によって決定されることが明らかになった。