[論文レビュー] Quantum walks in curved spacetime

Pablo Arrighi, Stefano Facchini+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Quantum-Dot Cellular Automata被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、連続極限において(1+1)次元の質量のある曲がったディラック方程式を再現する離散時間量子ウォーク（QW）を提案する。これは、曲がった時空におけるテスト粒子としての電子のユニタリな格子モデルを提供する。新規の技術である符号化とグループ化を導入することで、固定された格子構造にもかかわらず、曲がった背景における相対論的偏微分方程式（PDE）を一貫して得る量子セルオートマトンフレームワークを確立する。

ABSTRACT

A discrete-time Quantum Walk (QW) is essentially a unitary operator driving the evolution of a single particle on the lattice. Some QWs admit a continuum limit, leading to familiar PDEs (e.g. the Dirac equation), and thus provide us with discrete toy models of familiar particles (e.g. the electron). In this paper, we study the continuum limit of a wide class of QWs, and show that it leads to all those PDEs corresponding to the Hamiltonian form of the massive curved Dirac equation in (1 + 1) dimensions. Therefore a certain QW, which we make explicit, provides us with a unitary discrete toy model of the electron as a test particle in curved spacetime, in spite of the fixed background lattice. Mathematically we have introduced two novel ingredients for taking the continuum limit of a QW, but which apply to any quantum cellular automata: encoding and grouping.

研究の動機と目的

• 量子ウォークを用いて、曲がった時空におけるテスト粒子としての電子のユニタリな離散的モデルを構築すること。
• 平坦時空にとどまらず、重力的曲率を含む連続極限への量子ウォークの拡張を図ること。
• 量子セルオートマトンの連続極限を取るための新規な数学的技術——符号化とグループ化——を導入すること。
• 特定の量子ウォークが、(1+1)次元における質量のある曲がったディラック方程式のハミルトニアン形式を再現することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、ユニタリな進化演算子に従う、格子上の広範な離散時間量子ウォークのクラスを定義する。
• 量子ウォークの自由度を曲がった時空幾何学と整合する形に写像するための新規な「符号化」技術を適用する。
• 格子間隔と時間ステップを再スケーリングするための「グループ化」手順を導入し、連続的ダイナミクスの抽出を可能にする。
• 進化演算子の適切なスケーリング極限をとることで連続極限を導出し、偏微分方程式が得られる。
• 得られたPDEが、(1+1)次元における質量のある曲がったディラック方程式のハミルトニアン形式と一致することを示す。
• この手法は、特定のQWに限らず、他の量子セルオートマトンに対しても一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された格子背景における量子ウォークは、曲がった時空における質量のあるディラックフェルミオンのダイナミクスを再現できるか？
• RQ2 曲がった背景における量子ウォークの連続極限を取るためにはどのような数学的技術が必要か？
• RQ3 ユニタリな離散的モデルが、曲率結合を含む相対論的場の方程式を一貫して得られる仕組みは何か？
• RQ4 符号化とグループ化は、量子セルオートマトンの物理的に意味のある連続極限を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 得られた連続極限理論は、(1+1)次元における質量のある曲がったディラック方程式の完全な構造を回復するか？

主な発見

• 提案された量子ウォークの連続極限は、(1+1)次元における質量のある曲がったディラック方程式を再現し、物理的関連性を裏付けた。
• 特定の量子ウォークモデルはユニタリであり、曲がった時空における電子の離散的・格子ベースのおもちゃモデルを提供する。
• 符号化とグループ化という新規な技術は、離散ウォークから連続的ダイナミクスを正しく抽出するために不可欠である。
• この手法は、特定のQWに限らず、量子セルオートマトン全体に一般化可能であり、広範な応用が可能である。
• 得られたPDEは、質量と曲率結合を含む、曲がったディラック方程式のハミルトニアン形式と一致する。
• モデルは格子上でもユニタリでありながら、曲がった時空における相対論的ダイナミクスを再現する。