[論文レビュー] Quasi-Hopf algebras associated with sl(2) and complex curves

Benjamin Enriquez, V. Rubtsov|ArXiv.org|Aug 4, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、Lie代数 𝔰𝔩₂ およびその上に極みをもつ正則微分形式 ω を持つ複素曲線 X に関連する Drinfeld の Manin 対を量子化する擬ホップ代数を構成する。頂点関係、PBW 型定理、およびねじれ作用素の分解を用いて、共役された Manin 三重対を量子化する量子群 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ が、元の $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ とねじれ同値であることを示し、一般の曲線に対して擬ホップ代数構造を確立する。

ABSTRACT

We construct quasi-Hopf algebras quantizing double extensions of the Manin pairs of Drinfeld, associated to a curve with a meromorphic differential, and the Lie algebra sl(2). This construction makes use of an analysis of the vertex relations for the quantum groups obtained in our earlier work, PBW-type results and computation of $R$-matrices for them; its key step is a factorization of the twist operator relating ``conjugated'' versions of these quantum groups.

研究の動機と目的

• Drinfeld の未解決問題、すなわち、𝔰𝔩₂ と極みをもつ正則微分形式 ω を持つ複素曲線 X に関連する一般の Manin 対の量子化を、擬ホップ代数の観点から解決すること。
• Manin 対 $({\mathfrak{a}}\otimes k, {\mathfrak{a}}\otimes R)$ の二重拡大を量子化する量子群 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ を構成すること、ここで $k = \bigoplus_{s\in S} k_s$ かつ $R$ は有限集合 $S$ の外で正則な関数の環である。
• Hopf代数 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ と $U_{\hbar}\bar{\mathfrak{g}}$ が、コ cycle 条件を満たす $F$-行列を介してねじれ同値であることを確立すること。
• $U_{\hbar}\mathfrak{g}_R \subset U_{\hbar}\mathfrak{g}$ が、PBW 型結果と $R \otimes R$ に倣う頂点関係を用いて $U\mathfrak{g}_R$ の変形であることを示すこと。
• リーマン・ローランの留数ペアリング $\langle f,g\rangle_k = \sum_{s\in S} \operatorname{res}_s(fg\omega)$ に関して、$R \subset k$ が最大的自己双対的であることを確認し、量子化の背後にある古典的幾何的構造を裏付けること。

提案手法

• 生成系列の頂点関係を用いて、$R \otimes R$ に倣う関数による積のねじれを伴う量子群 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ を構成し、古典的包あらゆる代数 $U\mathfrak{g}_R$ の変形を保証する。
• 形式的 Feigin-Odesski シャッフル代数の類似に帰着させることで、$U_{\hbar}\mathfrak{g}$ に対して PBW 型定理を確立し、適切なフィルトレーションと基底を保証する。
• $U_{\hbar}\mathfrak{n}_+$ と $U_{\hbar}\mathfrak{n}_-$ の双対基底 $\alpha^i, \alpha_i$ を用いて、$F \in U_{\hbar}\mathfrak{g}^{\hat{\otimes}2}$ を $\sum_i \alpha^i \otimes \alpha_i$ としてねじれ作用素 $F$ を定義し、$U_{\hbar}\mathfrak{g}$ と $U_{\hbar}\bar{\mathfrak{g}}$ を関連付ける。
• $F$ が擬ホップコ cycle 条件を満たし、$U_{\hbar}\bar{\mathfrak{g}}$ のコプロダクト $\bar{\Delta}$ が $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ の $\Delta$ に $F$ を介して共役化されることを示す。
• アフィンワイル群における正の平行移動による共役の極限として得られる、Manin 三重対 $({\mathfrak{g}}, \mathfrak{g}_+, \mathfrak{g}_-)$ の古典的極限を用いて、量子構造を定義する。
• 代数幾何学およびアデール理論からの双対性定理を用いて、$R \subset k$ が留数ペアリング $\langle f,g\rangle_k = \sum_{s\in S} \operatorname{res}_s(fg\omega)$ に関して最大的自己双対的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Drinfeld の一般の Manin 対（𝔰𝔩₂ と極みをもつ正則微分形式 ω を持つ複素曲線 X に関連）は、擬ホップ代数の観点から量子化可能か？
• RQ2 量子群の頂点関係は、$R \otimes R$ に倣う関数を用いてどのように修正可能か？ これにより、$U\mathfrak{g}_R$ の変形である $U_{\hbar}\mathfrak{g}_R$ を定義できるか？
• RQ3 共役された Manin 三重対に対応する $\bar{\mathfrak{g}}$ を持つ量子群 $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ と $U_{\hbar}\bar{\mathfrak{g}}$ を関連付けるねじれ $F$ が存在するか？
• RQ4 アフィンワイル群は、古典的 Manin 三重対を共役対の極限として実現する役割を果たすが、これは量子レベルへどのように拡張可能か？
• RQ5 $S$ の外で正則な関数の環 $R$ は、$\omega$ によって誘導される留数ペアリングに関して、$k = \bigoplus_{s\in S} k_s$ 内で最大的自己双対的のままであるか？

主な発見

• $U_{\hbar}\mathfrak{g}_R \subset U_{\hbar}\mathfrak{g}$ は $R \otimes R$ に倣う係数を持つ頂点関係によって構成され、$U\mathfrak{g}_R$ の変形であることが示され、$\Delta(U_{\hbar}\mathfrak{g}_R) \subset U_{\hbar}\mathfrak{g} \hat{\otimes} U_{\hbar}\mathfrak{g}_R$ を満たす。
• PBW 型定理は、$U_{\hbar}\mathfrak{g}$ を形式的 Feigin-Odesski シャッフル代数の類似に帰着させることで確立され、順序付けられた基底とフィルトレーションが保証される。
• $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ と $U_{\hbar}\bar{\mathfrak{g}}$ は代数的に同型であり、それらのコプロダクトは、コ cycle 条件を満たすねじれ $F$ によって関連づけられる。
• ねじれ作用素 $F$ は、$U_{\hbar}\mathfrak{n}_+$ と $U_{\hbar}\mathfrak{n}_-$ の双対基底 $\alpha^i, \alpha_i$ を用いて $\sum_i \alpha^i \otimes \alpha_i$ として明示的に構成され、この $F$ は $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ と $U_{\hbar}\bar{\mathfrak{g}}$ 間のホップ代数同型をねじれの意味で誘導する。
• $R \subset k = \bigoplus_{s\in S} k_s$ が留数ペアリング $\langle f,g\rangle_k = \sum_{s\in S} \operatorname{res}_s(fg\omega)$ に関して最大的自己双対的であることが、代数幾何学およびアデール理論からの双対性定理を用いて証明された。
• 本構成は、$\mathfrak{sl}_2$ と任意の曲線の一般の Manin 対の量子化という Drinfeld 問題を解決し、既知の genus 0 および genus 1 の結果を任意の genus へ拡張する。