[論文レビュー] Quasi-isometry rigidity of right-angled Artin groups I: the finite out case

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、外部自己同型群が有限である右側アーティン群（RAAG）について、準等長的剛性を確立する。二つのこのようなRAAGが準等長的であるための必要十分条件は、それらが同型であることである。一方、外部自己同型群が有限である群が一つだけの場合、準等長性は、ある群が他方の群の有限指数部分群に同型であることに帰着され、本稿では定義グラフを用いた決定手続きを提供する。

ABSTRACT

Let $G$ and $G'$ be two right-angled Artin groups (RAAG). We show they are quasi-isometric iff they are isomorphic, under the assumption that $Out(G)$ and $Out(G')$ are finite. If only $Out(G)$ is finite, then $G'$ is quasi-isometric $G$ iff $G'$ is isomorphic to a finite index subgroup of $G$. In this case, we give an algorithm to determine whether $G$ and $G'$ are quasi-isometric by looking at their defining graphs.

研究の動機と目的

• 右側アーティン群（RAAG）の外部自己同型群に有限性条件を課したもとで、二つのRAAGがいつ準等長的であるかを特定すること。
• 両方の群の外部自己同型群が有限である場合に、準等長性が同型性を意味することを示す剛性結果を確立すること。
• 外部自己同型群が有限である群が一方のみの場合にまで剛性結果を拡張し、準等長性が有限指数部分群への同型性を意味することを示すこと。
• 定義グラフに基づいて、RAAG間の準等長性を決定するアルゴリズム的手法を開発すること。

提案手法

• 定義グラフを用いてRAAGの準等長的型を幾何的群論的手法で分析する。
• $\mathrm{Out}(G)$ および $\mathrm{Out}(G')$ の有限性を用いて、RAAG間の可能な準等長写像を制限する。
• 特にその組合せ的・位相的性質に着目し、定義グラフの構造を分析することで、RAAG間の準等長写像を特徴付ける。
• 準等長性の問題を群論的問題に還元する：あるRAAGが他方の群の有限指数部分群に同型であるのはいつか。
• 二つのRAAGの定義グラフを比較するアルゴリズムを構築し、一方が他方の有限指数部分群に同型であるかを判定する。
• RAAGの構造およびその自己同型に関する既知の結果を活用し、準等長性と同型性（または有限指数同型性）の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのRAAG間の準等長写像が常に同型写像によって誘導されるのはどのような条件下か？
• RQ2 外部自己同型群 $\mathrm{Out}(G)$ の有限性が、RAAGの準等長的分類にどのように影響するか？
• RQ3 定義グラフに基づいて、二つのRAAGがいつ準等長的かをアルゴリズム的に決定できるか？
• RQ4 二つのRAAGのうち、外部自己同型群が有限であるのが一方の群のみの場合、準等長的分類にはどのような影響があるか？
• RQ5 RAAGの定義グラフが、その準等長的型をどの程度まで決定するのか？

主な発見

• 両方の $G$ と $G'$ が外部自己同型群が有限であるRAAGであるとき、$G$ と $G'$ は、かつ、そのときに限り、準等長的である。
• 外部自己同型群が有限であるのが $G$ のみの場合、$G'$ が $G$ に準等長的であることは、$G'$ が $G$ の有限指数部分群に同型であることと同値である。
• 本稿では、定義グラフの解析に基づいてRAAG間の準等長性を決定する手続きを提供する。
• 外部自己同型群が有限であるとき、RAAGの定義グラフは、その準等長的型を決定するのに十分な情報を含む。
• 外部自己同型群が有限である群が一方のみの場合でも、剛性結果は成り立ち、分類は有限指数部分群まで拡張可能である。
• アルゴリズム的手法は、定義グラフから導かれる組合せ的不変量を用いて、同型性または有限指数同型性を検出する。