[論文レビュー] Quasi-Metrizability of Bornological Biuniverses in ZF

Artur Piękosz, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）において、生来の双宇宙（bornological biuniverses）に対して準距離化定理を確立し、Huの生来の宇宙（bornological universes）の距離化定理を準距離の設定に拡張する。生来の双宇宙が準距離化可能であることの必要十分条件として、第二可算性および$(\tau_1,\tau_2)$-適切性を示し、一般位相論における基礎的依存関係を浮き彫りにするために、いくつかの距離化に関する主張がZFに対して相対的独立であることを示している。

ABSTRACT

Hu's metrization theorem for bornological universes is shown to hold in ZF and it is adapted to a quasi-metrization theorem for bornologies in bitopological spaces. The problem of uniform quasi-metrization of quasi-metric bornological universes is investigated. Several consequences for natural bornologies in generalized topological spaces in the sense of Delfs and Knebusch are deduced. Some statements concerning (uniform)-(quasi)-metrization of bornologies are shown to be relatively independent of ZF.

研究の動機と目的

• Zermelo-Fraenkel集合論（ZF）の枠組み内で、生来の宇宙（bornological universes）のHuの距離化定理を準距離設定に拡張すること。
• 生来の双宇宙が準距離的実現をもつための条件を調査すること。
• 準距離の生来の宇宙における一様準距離化可能性を分析すること。
• DelfsとKnebuschの意味における一般化位相空間における自然な生来論の帰結を導出すること。
• 主要な距離化に関する主張がZFから論理的に独立であるかどうかを特定し、可算選択公理などの追加公理を必要とする結果を同定すること。

提案手法

• $(\tau_1,\tau_2)$-適切な有界性の概念を導入することで、Huの元々の距離化定理を二位相空間に適応すること。
• 生来の双宇宙を、生来論$\mathcal{B}$および準距離とその共役から誘導される位相$\tau_1, \tau_2$を持つ三重組$((X,\tau_1,\tau_2),\mathcal{B})$として定義すること。
• 準距離球を用いて生来論を特徴付ける$d$-有界集合$\mathcal{B}_d(X)$の概念を用いること。
• 生来の双宇宙における準距離化可能性が、第二可算性および$(\tau_1,\tau_2)$-適切性と同値であることを証明すること。
• 証明における選択公理（AC）および可算選択公理（CC）の役割を分析し、特定の主張がZFに対して相対的独立であることを示すこと。
• 部分的位相化の関手$pt$を含む圏論的道具を用いて、一般化生来の宇宙の圏が位相的構造であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AC や CC を仮定せずに、ZF において生来の双宇宙がいつ準距離化可能となるか。
• RQ2 生来の双宇宙の準距離化は、Hu や他の研究者による古典的距離化定理とどのように関係しているか。
• RQ3 生来論の（一様）-（準）距離化に関するどの主張がZFに対して論理的に独立であるか。
• RQ4 Delfs と Knebusch の意味における一般化位相空間における自然な生来論は、ZF において準距離化可能か。
• RQ5 可算選択公理は、生来の双宇宙の準距離化定理を証明する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 生来の宇宙（bornological universes）のHuの距離化定理はZFで成立し、その証明は可算選択公理（CC）に強く依存している。
• 生来の双宇宙$((X,\tau_1,\tau_2),\mathcal{B})$は、第二可算性および$(\tau_1,\tau_2)$-適切性であるための必要十分条件である。
• 有界双連続写像を備えた生来の双宇宙の圏$\mathbf{BiUBor}$は、位相的構造である。
• 有界厳密連続写像を備えた部分的に位相的な一般化生来の宇宙の圏$\mathbf{Ge_{pt}UBor}$は、位相的構造である。
• 生来論の（一様）-（準）距離化に関するいくつかの主張がZFに対して相対的独立であることが示され、ZFを超える基礎的依存関係が浮き彫りになった。
• ZFにおける準距離化可能性の証明は、[PW] が示唆するように、一般化位相空間における適切性および有界性を扱うために、修正されたZFのバージョンを必要とする。