[論文レビュー] Quasi-plurisubharmonic envelopes 2: Bounds on Monge-Amp\`ere volumes

Vincent Guedj, Chinh H. Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2021

Geometry and complex manifolds参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、参照形式が閉じていない場合のコンpactなヘルミート多様体上における退化複素マソン＝アンペール方程式のマソン＝アンペール体積に対する境界を、擬・シュバルツ関数包の使用により確立する。これは、マソン＝アンペール質量の上限の有限性（v+(ωX) < ∞）が双正則写像に関して不変であり、ネフクラスにおけるケーラー電流の存在と同値であることを証明し、グラウエルト＝ライマンシュナイダー予想の超越的バージョンを解決するとともに、デメールリ＝パオンおよびブックソム＝デメールリ＝パオン＝ペルテニェル予想をケーラーでない設定にまで拡張する。

ABSTRACT

In \cite{GL21a} we have developed a new approach to $L^{\infty}$-a priori estimates for degenerate complex Monge-Amp\`ere equations, when the reference form is closed. This simplifying assumption was used to ensure the constancy of the volumes of Monge-Amp\`ere measures. We study here the way these volumes stay away from zero and infinity when the reference form is no longer closed. We establish a transcendental version of the Grauert-Riemenschneider conjecture, partially answering conjectures of Demailly-P\u{a}un \cite{DP04} and Boucksom-Demailly-P\u{a}un-Peternell \cite{BDPP13}. Our approach relies on a fine use of quasi-plurisubharmonic envelopes. The results obtained here will be used in \cite{GL21b} for solving degenerate complex Monge-Amp\`ere equations on compact Hermitian varieties.

研究の動機と目的

• コンパクトなヘルミート多様体上における、参照形式が閉じていない場合の退化複素マソン＝アンペール方程式のマソン＝アンペール体積に対する一様な境界を確立すること。
• ケーラー多様体を超えた拡張において、グラウエルト＝ライマンシュナイダー予想の超越的バージョンを解決すること。
• v+(ωX) の有限性が双正則写像に関して不変であり、ネフクラスにおけるケーラー電流の存在と同値であることを証明すること。
• デメールリ＝パオンおよびブックソム＝デメールリ＝パオン＝ペルテニェル予想を、非閉形式および非ケーラー設定へ一般化すること。

提案手法

• 有界な ω-シュバルツ関数で上から有界な有界な ω-シュバルツ関数の上界としての擬・シュバルツ関数包 Pω(h) を導入し、その性質を研究する。
• 包の構成を用いてマソン＝アンペール質量を制御し、(ω + ddcPω(h))n が集合 {Pω(h) = h} に集中することを証明する。
• 修正された比較原理と、ヘルミート形式を含む新しい不等式（補題 4.13）を用いて体積推定を行う。
• 非閉形式の ddc-摂動を用いた摂動論的議論を展開し、Gauduchon計量と正規化を用いて体積積分を制御する。
• ε → 0 の極限に帰着させ、ストークスの定理と v+(ωX) の一様有界性を用いて誤差項を制御する。
• 包の技法とフジキクラスの特徴づけを用いて、v+(ωX) < ∞ および v−(ωX) > 0 が双正則写像に関して不変であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参照形式 ωX が閉じていない場合に、マソン＝アンペール質量の上限 v+(ωX) が有限であるための条件は何か？
• RQ2 v+(ωX) < ∞ という条件は、多様体の双正則写像に関して不変か？
• RQ3 v+(ωX) < ∞ は、αn > 0 を満たすネフクラス α におけるケーラー電流の存在を意味するか？
• RQ4 デメールリ＝パオンおよびブックソム＝デメールリ＝パオン＝ペルテニェル予想は、非閉形式および非ケーラー多様体へ拡張可能か？
• RQ5 マソン＝アンペール質量 v+(ωX) とネフ (1,1)-形式の「大きさ」の正確な関係は何か？

主な発見

• v+(ωX) < ∞ という条件は、ヘルミート計量 ωX の選び方に依存せず、双正則写像に関して不変である。
• v−(ωX) > 0 という条件も双正則写像に関して不変であり、形式 ωX の一様に非収縮性と同値である。
• 次元 n ≤ 2 の任意のコンパクト複素多様体、あるいは全純閉形式を持つ3次元多様体に対しては、v+(ωX) < ∞ が成り立つ。
• v+(ωX) < ∞ は、αn > 0 を満たすネフクラス α におけるケーラー電流の存在と同値であり、これによりグラウエルト＝ライマンシュナイダー予想の超越的バージョンが解決される。
• v+(ωX) < ∞ は、X がフジキクラスに属することを意味し、逆に X がフジキクラスに属するならば v+(ωX) < ∞ が成り立つ。
• デメールリ＝パオンおよびブックソム＝デメールリ＝パオン＝ペルテニェル予想の一般化が成立する：α − β にケーラー電流が存在するための必要十分条件は、v+(ωX) < ∞ であり、条件 αn > nαn−1 · β を満たすものとする。