[論文レビュー] Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions II

Mehmet Koca, Mudhahir Al Ajmi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、クォータニオンを用いたコクセター群の対称性を介して、準正則多面体およびその双対形——アーベル・カーテン固体の一般化——を構築する。3次元空間内の特定のベクトルに作用させることで、正三角形、正方形、正五角形、および一様多角形（例：六角形、十角形）を含む多面体が生成され、その応用例として、交互に結合長が異なる六角形を持つ截頭イコサハドロンのような分子モデリングに適している。

ABSTRACT

In this paper we construct the quasi regular polyhedra and their duals which are the generalizations of the Archimedean and Catalan solids respectively. This work is an extension of two previous papers of ours which were based on the Archimedean and Catalan solids obtained as the orbits of the Coxeter groups . When these groups act on an arbitrary vector in 3D Euclidean space they generate the orbits corresponding to the quasi regular polyhedra. Special choices of the vectors lead to the platonic and Archimedean solids. In general, the faces of the quasi regular polyhedra consist of the equilateral triangles, squares, regular pentagons as well as rectangles, isogonal hexagons, isogonal octagons, and isogonal decagons depending on the choice of the Coxeter groups of interest. We follow the quaternionic representation of the group elements of the Coxeter groups which necessarily leads to the quaternionic representation of the vertices. We note the fact that the molecule can best be represented by a truncated icosahedron where the hexagonal faces are not regular, rather, they are isogonal hexagons where single bonds and double bonds of the carbon atoms are represented by the alternating edge lengths of isogonal hexagons.

研究の動機と目的

• 正多面体およびカーテン固体を、正多角形と一様多角形の混合を持つ準正則多面体へ一般化すること。
• 群の要素をクォータニオン表現で表現することで、従来のコクセター群の軌道に関する研究を拡張すること。
• 交互に単結合と二重結合を持つことによる六角形が一様であるフラーレンのような分子構造をモデル化すること。
• 3次元空間における対称的なベクトルの選択を用いて、準正則多面体の双対ペアを体系的に構築すること。
• 非正多角形であるが一様対称性を持つ面（例：六角形、八角形）が、特定のベクトルへの群作用から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 3次元ユークリッド空間内の選択されたベクトルに、コクセター群（例：A3、B3、H3）の作用を適用し、頂点軌道を生成する。
• コクセター群の要素をクォータニオン代数で表現し、多面体の頂点座標を正確に計算可能にする。
• 正三角形、正方形、正五角形、および一様多角形を含む、混合された面タイプを持つ多面体を生成するための特定のベクトルを選択する。
• 元の多面体の頂点集合に双対変換を適用することで、双対多面体を構築する。
• 面の幾何構造を分析し、頂点が対称性群の下で等価であるが、辺の長さが交互に変化する場合でも一様対称性（isogonal symmetry）を同定する。
• モデルの妥当性を検証するため、交互に結合長が異なる六角形を持つ截頭イコサハドロンが、一様六角形面構造と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、コクセター群の対称性から、正多角形と一様多角形の混合を持つ準正則多面体を体系的に生成できるか？
• RQ2 クォータニオン表現は、これらの多面体の頂点座標を構築する際に、どのような役割を果たすか？
• RQ3 3次元空間における特定のベクトルの選択が、どのようにして一様六角形やその他の非正多角形だが対称的な面を生じさせるか？
• RQ4 これらの多面体的構造は、交互に結合長が異なる分子系（例：フラーレン）をどの程度正確にモデル化できるか？
• RQ5 コクセター群の対称性と、得られる多面体の面の幾何的性質との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 特定のベクトルに作用するコクセター群の頂点軌道は、正三角形、正方形、正五角形、および一様六角形を含む準正則多面体を生成する。
• 交互に辺の長さが異なる一様六角形は、截頭イコサハドロンモデルにおいて自然に生じ、C60フラーレンの結合パターンと一致する。
• クォータニオン表現により、構築された多面体のすべての頂点座標を正確かつ効率的に計算できる。
• 双対ペアの準正則多面体が体系的に生成され、対称性と双対性の関係が保たれる。
• 非正多角形であるが一様対称性を持つ面を許容することで、アーベル・カーテン固体の一般化が可能となり、対称多面体のクラスが拡張される。
• モデルは、交互に単結合と二重結合を持つため正多角形ではないが一様対称性を持つフラーレンの幾何的実態を的確に捉えている。