[論文レビュー] Quasi-regular representations of discrete groups and associated C*-algebras

Bachir Bekka, Mehrdad Kalantar|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用数 10

ひとこと要約

本稿は可算離散群におけるスペクトルギャップおよび弱い放物型部分群のクラスを導入し、そのような部分群の準正則表現が弱同値において剛性を示すことを証明している。具体的には、弱同値類がその自己同型類と一致することを示しており、そのような表現が生成する C*-代数は唯一の最小非ゼロイデアルと最大の真部分イデアルを有する。これは C*-単純性の基準を一般化し、Dixmier型近似性質を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable group. We introduce several equivalence relations on the set ${\ m Sub}(G)$ of subgroups of $G$, defined by properties of the quasi-regular representations $\\lambda_{G/H}$ associated to $H\\in {\ m Sub}(G)$ and compare them to the relation of $G$-conjugacy of subgroups. We define a class ${\ m Sub}_{\ m sg}(G)$ of subgroups (these are subgroups with a certain spectral gap property) and show that they are rigid, in the sense that the equivalence class of $H\\in {\ m Sub}_{\ m sg}(G)$ for any one of the above equivalence relations coincides with the $G$-conjugacy class of $H$. Next, we introduce a second class ${\ m Sub}_{\ m w-par}(G)$ of subgroups (these are subgroups which are weakly parabolic in some sense) and we establish results concerning the ideal structure of the $C^*$-algebra $C^*_{\\lambda_{G/H}}(G)$ generated by $\\lambda_{G/H}$ for subgroups $H$ which belong to either one of the classes ${\ m Sub}_{\ m w-par}(G)$ and ${\ m Sub}_{\ m sg}(G)$. Our results are valid, more generally, for induced representations ${\ m Ind}_H^G \\sigma$, where $\\sigma$ is a representation of $H\\in {\ m Sub}(G)$.

研究の動機と目的

• 可算離散群 G の準正則表現 λ_{G/H} と λ_{G/L} がいつ弱同値になるか、すなわち Prim(G) 内で同じ点を定めるかを理解すること。
• スペクトルギャップ性質を有する部分群のクラス Sub_{sg}(G) と弱い放物型構造を有する部分群のクラス Sub_{w-par}(G) を定義し、それらの表現が剛性があり構造的に制約された C*-代数を生じることを研究すること。
• これらの部分群からの誘導表現が生成する C*-代数のイデアル構造を特徴づけ、特に最小イデアルおよび最大真部分イデアルを同定すること。
• 既知の C*-単純性基準を一般化し、誘導表現へと Dixmier 型近似性質を拡張すること。

提案手法

• Sub(G) 上の同値関係 ∼_conj, ∼_w-conj, ∼_rep, ∼_w-rep を導入し、準正則表現の自己同型と弱同値の比較を行う。
• H が ℓ²(G/H) のスペクトルにおいて自明表現 1_H が孤立していること、すなわちスペクトルギャップを持つ場合に Sub_{sg}(G) を定義する。
• Lie 群における放物部分群の概念を一般化する弱い放物型条件を満たす部分群を Sub_{w-par}(G) として定義する。
• Chabauty および Fell 位相に関して、H ↦ λ_{G/H} の写像が Sub(G) から Rep(G) へ連続であることを用い、準軌道構造を分析する。
• Haagerup および Glimm–Thoma の結果を応用し、誘導表現 π = Ind_H^G σ に対する C*-代数 C*_{π}(G) のトレース可能性とイデアル構造を分析する。
• Sub_{w-par}(G) に属する表現に対して Dixmier 近似性質を確立し、共役の平均が任意の有限集合上で一様に小さくできるようにできることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算離散群 G の二つの準正則表現 λ_{G/H} と λ_{G/L} がいつ弱同値になるか？
• RQ2 どの部分群 H ∈ Sub(G) に対して、λ_{G/H} の弱同値類がその G-自己同型類と一致するか？
• RQ3 スペクトルギャップまたは弱い放物型構造を有する部分群 H に対して、C*-代数 C*_{λ_{G/H}}(G) のイデアル構造はどのようなものか？
• RQ4 G の C*-単純性基準を、Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G) に属する部分群からの誘導表現へ一般化できるか？
• RQ5 Sub_{sg}(G) に属する部分群からの誘導表現が生成する C*-代数は、唯一の最小非ゼロイデアルを含むか？

主な発見

• Sub_{sg}(G) に属する部分群は剛性を示す：その ∼_w-rep 同値類は自己同型類と一致する。
• H ∈ Sub_{sg}(G) に対して、π = Ind_H^G σ が生成する C*-代数 C*_{π}(G) には唯一の最小非ゼロイデアル I_min が存在する。
• H ∈ Sub_{w-par}(G) に対して、C*-代数 C*_{λ_{G/H}}(G) が単純であることと G が C*-単純であることとは同値であり、既知の基準を一般化する。
• 正則表現 λ_G は C*_{π}(G) に拡張され、その核が最大の真部分イデアルに一致するため、自然な商表現が得られる。
• π = Ind_H^G σ で H ∈ Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G) のとき、任意の ρ ≺ π で ρ ̸∼ π を満たすものに対して λ_G ≺ ρ ≺ π_min ≺ π を満たす最小表現 π_min が存在する。
• 例として、G = PSL_n(ℤ) および H = PSL_{n-1}(ℤ) （n ≥ 3）は Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G) に属し、理論が算術群へも適用可能であることを示している。