[論文レビュー] Quasi-stationary distribution for multi-dimensional birth and death processes conditioned to survival of all coordinates

Nicolas Champagnat, Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Probability and Risk Models参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、すべての種が生存することを条件とした多次元出生死滅過程に対して、吸収率が有界でない場合でも、一意の準定常分布への指数的収束を確立する。新規のリャプノフ関数のアプローチを用いて、強い種内競争または次元に依存する条件を満たす中立的競争の下で、初期条件に一様な指数的混合性が証明される。

ABSTRACT

This article studies the quasi-stationary behaviour of multidimensional birth and death processes, modeling the interaction between several species, absorbed when one of the coordinates hits 0. We study models where the absorption rate is not uniformly bounded, contrary to most of the previous works. To handle this natural situation, we develop original Lyapunov function arguments that might apply in other situations with unbounded killing rates. We obtain the exponential convergence in total variation of the conditional distributions to a unique stationary distribution, uniformly with respect to the initial distribution. Our results cover general birth and death models with stronger intra-specific than inter-specific competition, and cases with neutral competition with explicit conditions on the dimension of the process.

研究の動機と目的

• 任意の種が絶滅した場合に吸収が発生する多次元出生死滅過程の準定常的挙動を分析すること。
• 生態系において一般的に見られるが、従来の結果が不足している、非有界な吸収（殺滅）率を有するモデルの問題を扱うこと。
• 非吸収が条件付けられた過程の分布が、一意の準定常分布へ指数的に速く収束するための条件を確立すること。
• 特に強い種内競争または中立的競争の下で、従来の均一有界殺滅率にとどまらない理論を拡張すること。
• 非有界吸収を有する、より広範なクラスの相互作用粒子系に適用可能な、一般化されたリャプノフ関数の枠組みを提供すること。

提案手法

• 非有界吸収率を有する多次元出生死滅過程に対して、新規のリャプノフ関数に基づくアプローチを開発する。
• 過程の生成作用素 $ L $ を用いて、テスト関数の無限小的変化を分析し、出生、死、競争項を統合する。
• 出生率 $ b_j(n) $、死率 $ d_j(n) $、および競争係数 $ c_{jk}(n) $ に条件を課し、競争が死率に $ \left(\sum_k c_{jk}(n)n_k\right)^\gamma $ の形で影響を与えるようにする。
• 非吸収を条件付けた $ Q $-過程の枠組みを適用し、極限定常測度の存在を保証する。
• リャプノフ関数 $ V_\varepsilon(n) = \sum_{j=1}^r n_j^{-\varepsilon} $（$ \varepsilon \in (0,1) $）に基づくカップリング論法により、全 Variation での一様指数的収束を確立する。
• 突然の絶滅イベント（カタストロフィー）や複数出生を含む拡張に対しても、この手法を適応し、モーメントおよびレート条件の下で収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非吸収が条件付けられた多次元種出生死滅過程の条件付き分布が、一意の準定常分布へ指数的に速く収束するための条件は何か？
• RQ2 特に強い競争を示す生態系において、準定常分布の理論を非有界吸収率を有するモデルへ拡張することは可能か？
• RQ3 種内競争の強さ（$ \gamma > 0 $）は、準定常分布の存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ4 次元 $ r $ および競争構造にどのような条件が課されると、中立的競争モデルにおいて指数的収束が成立するか？
• RQ5 カタストロフィーまたは複数出生を有するモデルに対し、リャプノフ関数法を適応可能か？また、一様混合性を保証するためのモーメントまたはレート条件は何か？

主な発見

• 本稿は、すべての初期測度 $ \mu $ に対して、$ \|\mathbb{P}_\mu(X_t \in \cdot \mid t < \tau_\partial) - \alpha\|_{TV} \leq C e^{-\lambda t} $ の形のバインディングを伴い、条件付き分布が全 Variation で一様に指数的に収束することを証明する。
• 収束は、強い種内競争（$ \gamma > 0 $）および中立的競争の両方を含む一般条件の下で成立し、後者については明示的な次元依存条件が提示される。
• 本手法は、非有界殺滅率に対処できる新規のリャプノフ関数の議論に依拠しており、先行研究における主要な制限を克服する。
• カタストロフィーを伴う1次元過程では、出生率が部分線形に増加し、死率が2次的に増加し、カタストロフィー率が死率の一部以下に制限される場合、指数的収束が成立する。
• カタストロフィーおよび複数出生を伴う多次元過程に対しても、カタストロフィー率が競争駆動死率より遅く増加し、平均子孫数が一様に有界である限り、結果は拡張可能である。
• 提案された条件下では、一意の準定常分布が存在することが保証され、関連する $ Q $-過程は指数的エルゴード的である。