[論文レビュー] Quasi-stationary distributions and Fleming-Viot processes for finite state Markov processes

Amine Asselah, Pablo A. Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、吸収状態をもつ有限状態の連続時間マーカフチェーンにおけるフレミング・ヴィオット過程を研究する。N → ∞ のとき、N 個の粒子の経験的分布は、1 粒子の準定常分布に収束し、N 粒子過程の不変測度は準定常分布に収束する。また、2 粒子相関は O(1/N) のオーダーで減少する。

ABSTRACT

Consider a continuous time Markov chain with rates Q in the state space \Lambda\cup\{0\} with 0 as an absorbing state. In the associated Fleming-Viot process N particles evolve independently in \Lambda with rates Q until one of them attempts to jump to the absorbing state 0. At this moment the particle comes back to \Lambda instantaneously, by jumping to one of the positions of the other particles, chosen uniformly at random. When \Lambda is finite, we show that the empirical distribution of the particles at a fixed time converges as N o\infty to the distribution of a single particle at the same time conditioned on non absorption. Furthermore, the empirical profile of the unique invariant measure for the Fleming-Viot process with N particles converges as N o\infty to the unique quasi-stationary distribution of the one-particle motion. A key element of the approach is to show that the two-particle correlations is of order 1/N.

研究の動機と目的

• 有限状態の連続時間マーカフチェーンにおける N 粒子フレミング・ヴィオット過程の長期的挙動を理解すること。
• N 粒子フレミング・ヴィオット過程の不変測度と 1 粒子過程の準定常分布との関係を確立すること。
• N → ∞ の極限における粒子相関のスケーリングを分析すること。
• N 個の粒子の経験的分布が、吸収を条件付けた 1 粒子の分布に収束することを証明すること。

提案手法

• 0 を吸収状態とする Λ ∪ {0} 上の連続時間マーカフチェーンをモデル化し、遷移率 Q を用いる。
• N 粒子フレミング・ヴィオット過程を定義する。粒子は Λ 内で独立に遷移するが、1 つの粒子が 0 に吸収しようとするとき、残りの N−1 個の粒子から一様に再サンプリングする。
• 固定時刻 t における N 粒子過程下での粒子位置の経験的分布を分析する。
• カップリングおよび双対性の技法を用いて、2 粒子相関が O(1/N) のオーダーであることを示す。
• N → ∞ のとき、N 粒子過程の不変測度が、1 粒子過程の唯一の準定常分布に弱収束することを証明する。
• 有限時刻における経験的分布が、非吸収を条件付けた 1 粒子分布に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N → ∞ のとき、フレミング・ヴィオット過程における N 個の粒子の経験的分布は、条件付き 1 粒子分布に収束するか？
• RQ2 N 粒子フレミング・ヴィオット過程の不変測度は、1 粒子過程の準定常分布と漸近的に同値か？
• RQ3 フレミング・ヴィオット過程における粒子間相関は、N に従ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 再サンプリング機構は、非吸収の経験的測度を維持するために果たす役割は何か？

主な発見

• 固定時刻における N 個の粒子の経験的分布は、N → ∞ のとき、非吸収を条件付けた 1 粒子の分布に分布収束する。
• N 粒子フレミング・ヴィオット過程の不変測度は、N → ∞ のとき、1 粒子過程の唯一の準定常分布に弱収束する。
• N 粒子過程における 2 粒子相関は O(1/N) のオーダーであり、大規模 N の極限で漸近的に独立であることを示唆する。
• 不変測度の準定常分布への収束は、Λ が有限であり、かつ 1 粒子過程が一意の準定常分布を持つという仮定のもとで成立する。