[論文レビュー] Quasiconvex Programming

David Eppstein|ArXiv.org|Dec 10, 2004

Optimization and Variational Analysis被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、擬凸関数の点毎最大値を最小化する幾何的最適化フレームワークとして、擬凸プログラミングを導入する。一般化シンプレックス法および勾配降下法を用いることで、効率的な解法が可能となる。また、次元が有界な擬凸計画問題は、定数複雑度のプリミティブを用いて線形時間で解けることが示され、メッシュ生成、科学計算、ロバスト統計への応用が可能である。

ABSTRACT

We define quasiconvex programming, a form of generalized linear programming in which one seeks the point minimizing the pointwise maximum of a collection of quasiconvex functions. We survey algorithms for solving quasiconvex programs either numerically or via generalizations of the dual simplex method from linear programming, and describe varied applications of this geometric optimization technique in meshing, scientific computation, information visualization, automated algorithm analysis, and robust statistics.

研究の動機と目的

• 線形計画法と凸計画法の間の橋渡しとして、擬凸プログラミングを形式化し、幾何的最適化のための構造的フレームワークを提供すること。
• 一般化シンプレックス法および勾配降下法の技術を活用して、効率的に擬凸計画問題を解くためのアルゴリズム（数値的および組合せ的）を開発すること。
• メッシュ生成、情報可視化、ロバスト統計など、多様な分野への擬凸プログラミングの適用可能性を示すこと。
• 次元が有界な擬凸計画問題が、定数時間プリミティブを用いて線形時間で解けることを示し、強多項式時間複雑度を確立すること。
• 再帰的分割およびアレンジメントに基づく意思決定手順を用いて、Tukey中央値の計算など、暗黙的問題への拡張を図ること。

提案手法

• 凸な下位集合を用いて擬凸関数を定義し、凸関数を一般化するが、角の補角関数や段階関数など非凸な形状を許容する。
• 各レベル集合が入れ子で増加するコン pact 凸集合族に対応する、擬凸関数とネストされた凸族の双対性を確立する。
• 暗黙的擬凸プログラミング技法（定理 3.2）を適用し、制約を明示的に持たない問題を、εカットティングを用いた再帰的分割によって解く。
• 射影的双対性を用いて点集合を超平面のアレンジメントに変換し、(d−1)次元のアレンジメントを用いて、O(n log n + n^{d−1}) 時間で制約のチェックを効率的に行う。
• 双対アレンジメントの面を走査することで、違反する制約をチェックする意思決定アルゴリズムを実装し、隣接する面を越えて各半空間内のサンプル数が ±1 変化する。
• 再帰的分割と定数サイズの部分問題の解法を組み合わせることで、Tukey中央値の計算に確率的期待時間 O(n log n + n^{d−1}) を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般凸計画法よりも、幾何的最適化問題を擬凸プログラミングでより効率的に解くことができるか？
• RQ2 定数サイズの部分問題が定数時間で解ける場合、擬凸計画問題を強多項式時間で組合せ的に解く方法は何か？
• RQ3 擬凸プログラミング技法を用いた Tukey 中央値の計算の計算量複雑度は何か？
• RQ4 無限個の制約を持つ問題（例：半空間深度から生じる問題）を、暗黙的擬凸プログラミングが処理できるか？
• RQ5 擬凸関数を単調関数と合成することで、常に凸関数にできるか？また、それが不可能な場合の条件は何か？

主な発見

• 次元が有界な擬凸計画問題は、定数複雑度のプリミティブを用いて線形時間で解ける。強多項式時間複雑度が達成される。
• Tukey 中央値は、εカットティングおよび双対アレンジメントを用いた暗黙的擬凸プログラミングにより、確率的期待時間 O(n log n + n^{d−1}) で計算可能である。
• 本フレームワークは、数値的手法（例：一般化勾配降下法）と組合せ的アルゴリズム（例：一般化デュアルシンプレックス法）の両方をサポートしており、柔軟な実装が可能である。
• 擬凸関数は凸関数を一般化するが、補角関数や凸集合の指示関数など、非凸な形状を許容する。
• すべての擬凸関数が、単調関数との合成によって凸関数に変換できるわけではない。例えば、凸集合の指示関数は、このような合成によっても非凸のままである。
• 暗黙的擬凸プログラミング技法により、無限個の制約を持つ問題を再帰的分割と双対アレンジメントによる部分問題の解法によって効率的に解ける。