[論文レビュー] Quasilocal angular momentum and center of mass in general relativity

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ミンコフスキー空間への最適等長埋め込みと標準ゲージを用いて、一般相対性理論における準局所的角運動量および重心の幾何学的に整合性のある定義を提案する。この手法により、座標や漸近的対称性の曖昧さに依存しない保存量が得られ、真空中のアインシュタイン方程式のもとで保存則を満たし、平坦な時空において特殊相対性理論に正しく還元される。

ABSTRACT

For a spacelike 2-surface in spacetime, we propose a new definition of quasi-local angular momentum and quasi-local center of mass, as an element in the dual space of the Lie algebra of the Lorentz group. Together with previous defined quasi-local energy-momentum, this completes the definition of conserved quantities in general relativity at the quasi-local level. We justify this definition by showing the consistency with the theory of special relativity and expectations on an axially symmetric spacetime. The limits at spatial infinity provide new definitions for total conserved quantities of an isolated system, which do not depend on any asymptotically flat coordinate system or asymptotic Killing field. The new proposal is free of ambiguities found in existing definitions and presents the first definition that precisely describes the dynamics of the Einstein equation.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における準局所的保存量（特に角運動量および重心）を定義する際の長年の曖昧さを解消すること。
• 既存の定義が抱える問題である漸近的平坦な座標や漸近的キリング場に依存しない定義を構築すること。
• 軸対称時空において、特殊相対性理論および既知の物理的期待と整合すること。
• 準局所的エネルギー運動量の枠組みを拡張し、準局所レベルにおける保存量の完全なセットを完成させること。
• 時空発展に対して不変で、保存則を満たす孤立系の新たな全保存量を定義すること。

提案手法

• 物理的時空へと逆に持ち上げるため、時空的2次元表面Σをミンコフスキー空間ℝ³,¹に最適等長埋め込む。この埋め込みにより、参照空間のキリングベクトル場を物理的時空へと持ち上げる。
• 参照ミンコフスキー空間におけるブーストおよび回転キリング場を用いて、ローレンツ代数の双対空間の要素として準局所的角運動量および重心を定義する。
• ハミルトン＝ジャコビ解析から導かれる標準ゲージ条件を適用し、埋め込みの曖昧さを固定し、一意性を保証する。
• 誘導計量σ_ab、平均曲率ベクトル|H|、法束接続からの1次形式α_Hを含むΣ上の積分を用いて、準局所的量を構成する。
• 空間的無限遠での極限をとることで、座標やキリング場に依存しない全保存量（エネルギー運動量、角運動量、重心）を定義する。
• 時間発展の下で、全重心が∂ₜCⁱ = pⁱ/p⁰と動的に進化し、角運動量が保存されることを示すことにより、真空アインシュタイン方程式との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的対称性や座標に依存しない、一貫性があり曖昧さのない一般相対性理論における準局所的角運動量および重心の定義を構築できるか？
• RQ2 提案された準局所的量は真空アインシュタイン方程式の下でどのように振る舞い、保存則を満たすか？
• RQ3 新しい全保存量は平坦な時空において特殊相対性理論の結果に正しく還元されるか？
• RQ4 新しい定義は時空微分同相変換に対して不変であり、参照フレームや座標系の選択に依存しないか？
• RQ5 新しい枠組みは、保存量のレベルでアインシュタイン方程式の完全な力学を捉えられるか？

主な発見

• 任意のミンコフスキー時空における時空的超曲面において、新しい全角運動量はゼロとなり、物理的期待と整合する。
• 真空アインシュタイン方程式の下で、全角運動量は保存され、カー時空における任意の厳密に時空的超曲面で不変である。
• 全重心は動的公式∂ₜCⁱ(t) = pⁱ/p⁰に従って進化し、p⁵はADMエネルギー運動量4元ベクトルである。
• 任意の1次漸近的平坦な真空初期データセットにおいて、新しい全保存量は有限かつ適切に定義される。
• 従来の定義とは異なり、漸近的座標やキリング場に起因する曖昧さがなく、提案された準局所的角運動量および重心は曖昧さが存在しない。
• アインシュタイン制約方程式および発展方程式から導かれる保存則および運動方程式により、この枠組みが真空アインシュタイン方程式の力学を完全に捉えていることが示された。