[論文レビュー] Quasimodular forms, Jacobi-like forms, and pseudodifferential operators

YoungJu Choie, Min-Ho Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、擬モジュラー形式、ヤコビ類似形式、擬微分作用素の間の深い関係を、擬モジュラー形式からヤコビ類似形式への右逆写像（リフト）を構成することによって確立する。これにより、リー代数括弧、ランキン＝コーン括弧、ヘッケ作用素、志村同型写像を擬モジュラー設定で研究可能となる。主な貢献は、半整数重形式における新井リフトおよび志村対応の擬モジュラー版の確立である。

ABSTRACT

We study various properties of quasimodular forms by using their connections with Jacobi-like forms and pseudodifferential operators. Such connections are made by identifying quasimodular forms for a discrete subgroup $\G$ of $SL(2, \bR)$ with certain polynomials over the ring of holomorphic functions of the Poincaré upper half plane that are $\G$-invariant. We consider a surjective map from Jacobi-like forms to quasimodular forms and prove that it has a right inverse, which may be regarded as a lifting from quasimodular forms to Jacobi-like forms. We use such liftings to study Lie brackets and Rankin-Cohen brackets for quasimodular forms. We also discuss Hecke operators and construct Shimura isomorphisms and Shintani liftings for quasimodular forms.

研究の動機と目的

• 擬モジュラー形式、ヤコビ類似形式、擬微分作用素を多項式および形式的冪級数の構成によって統一的な枠組みで結びつけること。
• 擬モジュラー設定におけるリー括弧、ランキン＝コーン括弧、ヘッケ作用素のための体系的でないツールの欠如を解消すること。
• 古典的モジュラー形式対応（特に志村同型写像および新井リフト）を半整数重形式への拡張すること。
• 擬モジュラー形式からヤコビ類似形式への右逆写像（リフト）を構成し、これにより後者から前者への構造の転送を可能にすること。
• 構成された写像のヘッケ不変性を確立し、モジュラー形式の算術理論と整合することを保証すること。

提案手法

• 上半平面 $\mathcal{H}$ 上の正則関数上の $\Gamma$-不変多項式 $F(z,X) = \sum_{r=0}^m f_r(z)X^r$ として、重さ $w$ および深さ $m$ の擬モジュラー形式を特定する。
• ヤコビ類似形式（$\Gamma$-不変係数の形式的冪級数）から擬モジュラー形式への全射写像を構成し、この写像に対する右逆写像（リフト）の存在を証明する。
• リフトを用いて構造を転送する：リー代数的構造およびランキン＝コーン括弧が、擬モジュラー多項式の空間に定義される。
• 多項式への $SL(2,\mathbb{R})$ の右作用を用いて、擬モジュラー多項式上のヘッケ作用素を定義し、モジュラー形式上の標準的ヘッケ作用素と整合する。
• 半整数重の擬モジュラー形式を導入し、ガンマ関数およびモジュラー形式の微分を用いて定義される写像 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ を用いて、擬モジュラー版の新井リフトを構成する。
• 擬モジュラー新井写像が古典的新井写像および $\Xi^{2(\lambda+r)}_{m'-r}$ 演算子と結ぶ可換図式を確立し、ヘッケ不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬モジュラー形式からヤコビ類似形式への右逆写像（リフト）を構成可能か？ また、このリフトが保存する構造は何か？
• RQ2 ヤコビ類似形式へのリフトを用いて、擬モジュラー形式におけるリー括弧およびランキン＝コーン括弧をどのように定義し、研究できるか？
• RQ3 多項式への $SL(2,\mathbb{R})$-作用を用いて、擬モジュラー形式上のヘッケ作用素を定義でき、かつモジュラー形式上のそれと整合するか？
• RQ4 半整数重形式における擬モジュラー版の志村同型写像および新井リフトとは何か？
• RQ5 構成された擬モジュラー新井写像 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ はヘッケ不変であり、古典的写像と整合するか？

主な発見

• 擬モジュラー形式の空間からヤコビ類似形式への右逆写像（リフト）が存在し、リー括弧やランキン＝コーン括弧などの構造の転送が可能となる。
• リフトにより、擬モジュラー多項式の空間にリー代数的構造が構成され、擬モジュラー形式に対するランキン＝コーン括弧が定義される。
• 擬モジュラー多項式上のヘッケ作用素は $SL(2,\mathbb{R})$-作用を用いて定義され、ヤコビ類似形式への全射写像とヘッケ不変性が示される。
• 擬モジュラー新井リフト写像 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ は、$QP_{2\lambda-1+2m}^{m-r}(\Gamma_0(M),\chi^2)$ から $QP_{2m'+\lambda-r}^{m'-r}(\Gamma_0(4M),\chi')$ へのヘッケ不変 $\mathbb{C}$-線形写像である。
• $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ は、古典的新井写像 $\Theta_{\lambda+r,\chi}$、$\mathfrak{S}_{m-r}$、および $\Xi^{2(\lambda+r)}_{m'-r}$ と結ぶ可換図式に含まれており、整合性およびヘッケ不変性が証明される。
• 全写像 $\bigoplus_{r=0}^{m}\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ は、$QP_{2\lambda-1+2m}^{m}(\Gamma_0(M),\chi^2)$ から $\bigoplus_{r=0}^{m}QP_{2m'+\lambda-r}^{m'-r}(\Gamma_0(4M),\chi')$ へのヘッケ不変 $\mathbb{C}$-線形写像である。