[論文レビュー] Quasisymmetric rigidity in one-dimensional dynamics

Trevor Clark, Sebastian van Strien|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、実および複素の境界、多項式的写像、準等角同相を分析することで、1次元力学系における準等角的剛性を確立する。双曲的吸引子と無限再帰的系が、準等角的同値のもとで剛性を示すことを証明し、特に恒久的ボックス写像と吸引域における外部同相に関して、重要な結果を得ている。

ABSTRACT

In the late 1980's Sullivan initiated a programme to prove quasisymmetric rigidity in one-dimensional dynamics: interval or circle maps that are topologically conjugate are quasisymmetrically conjugate (provided some obvious necessary assumptions are satisfied). The aim of this paper is to conclude this programme in a natural class of $C^3$ mappings. Examples of such rigidity were established previously, but not, for example, for real polynomials with non-real critical points. Our results are also new for analytic mappings. The main new ingredients of the proof in the real analytic case are (i) the existence of infinitely many (complex) domains associated to its complex analytic extension so that these domains and their ranges are compatible, (ii) a methodology for showing that combinatorially equivalent complex box mappings are qc conjugate, (iii) a methodology for constructing qc conjugacies in the presence of parabolic periodic points. For a $C^3$ mapping, the dilatation of a high iterate of any complex extension of the real map will in general be unbounded. To deal with this, we introduce dynamically defined $qc\backslash bg$ $partitions$, where the appropriate mapping has bounded quasiconformal dilatation, except on sets with "bounded geometry". To obtain such a partition we prove that we have very good geometric control for infinitely many dynamically defined domains. Some of these results are new even for real polynomials, and in fact an important sequence of domains turn out to be quasidiscs. This technology also gives a new method for dealing with the infinitely renormalizable case. We will briefly also discuss why quasisymmetric rigidity is such a useful property in one-dimensional dynamics.

研究の動機と目的

• 双曲的吸引子を有する1次元力学系における準等角的剛性の確立。
• 複素境界および実境界を用いた無限再帰的系の剛性の分析。
• 双曲的吸引子の吸引域における準等角的外部同相の存在の証明。
• 恒久的ボックス写像および中心的カスケードを有する系への剛性結果の拡張。
• 準等角的同値のもとでの周期点および臨界点における局所的力学の調査。

提案手法

• 再帰的写像の幾何を制御するために、複素境界および実境界を用いる。
• 多項式的写像および準等角的ドメインを用いて、準等角的分割を構成する。
• 中心的成分のためのqcpg分割を用いて、恒久的ダイナミクスを分析する。
• 定理 LABEL:thm:external_conjugacy を用いて、qc外部同相の存在を確立する。
• 接触するボックス写像とその剛性を、定理 LABEL:thm:touching_box_map を用いて分析する。
• 漸近的に正則な写像および修正されたδ-良い分割を用いて、歪みを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的吸引子を有する1次元力学系において、どのような条件下で準等角的剛性が成立するか？
• RQ2 複素境界および実境界は、再帰的系におけるボックス写像の恒久性にどのように寄与するか？
• RQ3 無限再帰的臨界点を有する系の剛性において、準等角的同相は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ4 中心的カスケードおよび恒久的ボックス写像は、力学系の剛性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 どのような設定において、同じ力学的クラスに属する写像間で外部同相が存在するか？

主な発見

• 定理 LABEL:thm:box_mapping_persistent は、再帰的変換のもとでのボックス写像の恒久性を確立する。
• 定理 LABEL:thm:external_conjugacy は、双曲的吸引子の吸引域における準等角的外部同相の存在を証明する。
• 命題 LABEL:prop:rigidity_attracting は、qc同相を用いて双曲的吸引子における剛性を確認する。
• 定理 LABEL:thm:central_cascades は、無限再帰的系における中心的カスケードの剛性を示す。
• 命題 LABEL:prop:good_bounds および LABEL:prop:modified_delta_nice は、準等角的分割における歪みの制御を提供する。
• 定理 LABEL:thm:box_mapping_reluctant は、複素境界のもとで無限分岐を有する系に対しても剛性を拡張する。