[論文レビュー] Quaternions and dynamics

Basile Graf|ArXiv.org|Nov 18, 2008

Robotic Mechanisms and Dynamics被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、剛体動力学におけるクォータニオンの自己完結的導入を提示し、特異点を回避し、コン pact で手計算可能な定式化を可能にする点でオイラー角の優位性を強調している。慣性系と非慣性系の両方における回転速度、運動量モーメント、運動エネルギーの主要な関係式を導出し、クォータニオン代数を用いたフレーム間での回転速度変換の明示的公式も提示している。

ABSTRACT

We give a simple and self contained introduction to quaternions and their practical usage in dynamics. The rigid body dynamics are presented in full details. In the appendix, some more exotic relations are given that allow to write more complex models, for instance, the one of a satellite with inertial wheels and expressed in a non-inertial reference frame. As it is well known, one nice advantage of quaternions over Euler angles, beside the usual arguments, is that it allows to write down quite complex dynamics completely by hand.

研究の動機と目的

• 動力学におけるクォータニオンの自己完結的で実用的な導入を提供すること、特に航空宇宙およびロボット工学の文脈を想定する。
• ジンバルロックなどのオイラー角の限界を克服し、空間的回転を表現する際のクォータニオンの優位性を示すこと。
• 運動量モーメントおよび運動エネルギーの表現を含め、クォータニオンを用いた剛体の完全な動力学を導出し、提示すること。
• 非慣性系における動力学の定式化を通じて、反動ホイールを備えた人工衛星などの複雑な系へと形式を拡張すること。
• 数値的複雑性を回避するため、クォータニオン代数を用いて完全に解析的に複雑な力学的モデルを手計算で導出可能にすること。

提案手法

• 非可換乗法を定義し、クォータニオン積の公式を導出するために、基本的クォータニオン恒等式 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ を用いる。
• 3次元ベクトルを表す純クォータニオン $x = (0, \vec{x})$ を用いた共役作用 $x' = \bar{q} \circ x \circ q$ による回転表現を行う。
• 固定座標系と本体固定座標系の両方における回転速度を、$\vec{\omega} = 2 \cdot \dot{q} \circ \bar{q}$ の関係式で表現し、座標系間の適切な変換を実施する。
• クォータニオンの微分を用いて回転行列 $R$ の時間微分を導出し、$q$ と $\dot{q}$ を用いた動的モデル化を可能にする。
• 連鎖則と行列積表記を用いて、慣性系から軌道系から本体座標系への複数の座標系間での回転速度の合成を行う。
• 非慣性モデルにおける動力学を結びつけるために、変換 $\vec{\omega}^\prime_{\text{Inertial}} = R^T \vec{\omega}_o + \vec{\omega}^\prime_{\text{NonInertial}}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンを用いることで、特異点を回避する空間的回転の表現はどのように可能になるか。その数学的根拠は何か。
• RQ2 慣性系および本体固定座標系の両方におけるクォータニオン微分と角速度の関係は何か。
• RQ3 クォータニオン代数を用いて複数の座標系間での回転速度をどのように合成できるか。その結果得られる変換式は何か。
• RQ4 非慣性座標系における剛体の運動エネルギーおよび運動量モーメントは、クォータニオンを用いてどのように表現できるか。
• RQ5 オイラー角からクォータニオンへの明示的マッピングは何か。また、クォータニオンに基づく動力学的定式化と比較して、その違いは何か。

主な発見

• 単位クォータニオン $q = (\cos(\varphi/2), \sin(\varphi/2)\vec{n})$ を用いた3次元ベクトル $\vec{x}$ の回転は、$\vec{x}^\prime = R\vec{x}$ として表され、$R$ は標準的な回転行列である。
• 本体座標系における角速度は $\vec{\omega}^\prime = 2 \cdot \dot{q} \circ \bar{q}$ で与えられ、$R^T$ を用いた座標系間での正しい変換が可能である。
• 座標系間での回転速度の合成により、$\vec{\omega}^\prime_{\text{Inertial}} = R^T \vec{\omega}_o + \vec{\omega}^\prime_{\text{NonInertial}}$ が得られ、非慣性モデルにおける一貫性のある動力学の実現が可能になる。
• 非慣性モデルにおける運動エネルギーは、$\vec{\omega}^\prime_{\text{Inertial}}$ を用いて計算され、これは軌道的回転と本体相対運動を組み合わせたものである。
• オイラー角は $\mathbf{q} = \mathbf{q}_\phi \circ \mathbf{q}_\theta \circ \mathbf{q}_\psi$ を用いてクォータニオンに変換可能であり、その成分は半角の三角関数関数で明示的に与えられる。
• 本手法により、反動ホイールを備えた人工衛星の動力学など、複雑な力学的モデルを、クォータニオン代数を用いて完全に解析的に手計算で導出可能である。