[論文レビュー] Quenched exit times for random walk on dynamical percolation

Yuval Peres, Perla Sousi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}_n^d$トーラス上の動的パーコレーションにおける単純なランダムウォークの抜けるまでの時間を、すべての$p \in (0,1)$に対して、クエンチド上界として確立する。これは、$p < p_c(\mathbb{Z}^d)$の下臨界領域における既知の下界と一致する。発展する集合とマルティンゲール技法を用いて、$p$に依存しない$O(n^2 / \mu)$の確率的上界を示し、以前のアンネールド結果をクエンチド設定に拡張し、動的環境の典型的実現における混合挙動の理解の空白を解消する。

ABSTRACT

We consider random walk on dynamical percolation on the discrete torus $\mathbb{Z}_n^d$. In previous work, mixing times of this process for $p

研究の動機と目的

• ランダムウォークのクエンチド混合と抜けるまでの時間の理解のギャップを埋めること、ここに過去の結果はアンネールド設定に限られていた。
• すべてのエッジが開く確率$p$に対して一様に成り立つクエンチド上界を、下臨界および上臨界領域を含めて確立すること。
• 動的環境から生じる時間非一様マルコフ連鎖に発展する集合法を拡張し、混合時間および抜けるまでの時間のクエンチド上界を可能にすること。
• アンネールド上界とクエンチド挙動の乖離を解消すること、特にアンネールド上界がクエンチド上界を意味しない領域において。

提案手法

• 動的パーコレーションによって誘発される環境依存の遷移核を用いて、時間非一様マルコフ連鎖に発展する集合プロセスを適応する。
• 集合$S_n$の定常測度を$\pi(S_n)$とすると、$Z_n = \pi(S_n)^{-1}$という修正されたマルティンゲールを導入し、$\mathbb{E}[Z_{n+1} \mid Z_n] \leq Z_n(1 - f_0(Z_n))$を証明する。
• 関数$f_0(z) = \psi(1/z^2)$を用い、ここで$\psi$は環境過程のスペクトルギャップである。これにより、$\mathbb{E}[Z_n]$の減少を制御する。
• スペクトルギャップ$\psi(S)$とコンダクタンス$\varphi(S)$の比較を適用し、すべての$r$に対して$\psi(r) \geq \frac{\gamma^2}{2(1-\gamma)^2}\varphi^2(r)$を確立する。
• マーカフの不等式と、$\chi(\mathbb{P}_{x,\eta}(Y_n=\cdot), \pi) \leq \widehat{\mathbb{E}}_{\{x\},\zeta}[Z_n]$の境界を用いて、クエンチド設定における全 Variation 距離を制御する。
• 積分条件$n \geq 1 + \frac{2(1-\gamma)^2}{\gamma^2}\int_{4\pi(x)}^{4/\varepsilon} \frac{du}{u\varphi^2(u)}$を介して、抜けるまでの時間の均一な上界を導出する。これにより、$\mathbb{E}[Z_n] \leq \sqrt{\varepsilon}$が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$p \in (0,1)$に対して、動的パーコレーション上のランダムウォークのクエンチド抜けるまでの時間の上界を一様に確立できるか？
• RQ2 発展する集合法は、動的環境から生じる時間非一様連鎖に拡張可能であり、クエンチド混合時間の上界を可能にするか？
• RQ3 クエンチド抜けるまでの時間挙動は、特に上臨界領域において、アンネールド混合時間上界とどのように比較されるか？
• RQ4 環境に関する条件付き期待値枠組みを用いて、アンネールドとクエンチド混合挙動の乖離を解消できるか？

主な発見

• すべての$p \in (0,1)$に対して、クエンチド抜けるまでの時間は$O(n^2 / \mu)$で上界づけられ、下臨界領域（$p < p_c(\mathbb{Z}^d)$）における既知の下界と一致する。
• 上界は$p$に依存せず一様に成り立つ。これにより、過去の結果が制限されていた下臨界領域を超えて拡張される。
• 証明により、すべての$n \geq 1 + \frac{2(1-\gamma)^2}{\gamma^2}\int_{4\pi(x)}^{4/\varepsilon} \frac{du}{u\varphi^2(u)}$に対して$\mathbb{E}[Z_n] \leq \sqrt{\varepsilon}$が得られ、クエンチド全 Variation 距離が$\varepsilon^{1/4}$以下であることが保証される。
• 発展する集合プロセスは時間非一様連鎖に適応され、動的環境下でも$\pi(S_n)$のマルティンゲール性質が保たれる。
• 環境過程のスペクトルギャップ$\psi$とコンダクタンス$\varphi$の間には、$\psi(r) \geq \frac{\gamma^2}{2(1-\gamma)^2}\varphi^2(r)$が成り立ち、混合時間の積分的境界を可能にする。
• 従来の手法が上臨界領域でさえ下臨界上界$n^2/\mu$を導けなかったことから、上臨界領域におけるクエンチド上界の欠落を解消する結果が得られた。