[論文レビュー] Quenched localisation in the Bouchaud trap model with regularly varying traps

David A. Croydon, Stephen Muirhead|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、整数格子上のボーショ・トラップモデルにおいて、正則に変動するトラップ分布（尾指数 α ∈ (0,1]）を仮定した場合のクエンチド局在行動を確立する。ほとんどすべてのトラップ配置に対して、時間の経過に伴い、局在度の上限が 1 に達する完全な局在と、上限が 0 に下がる完全な脱局在の間を無限に繰り返す振るまいを示す。この結果は、トラップ分布の尾の重さに応じて、均質化された状態と強く不規則な状態の間で鋭い遷移が生じることを示している。

ABSTRACT

This article describes the quenched localisation behaviour of the Bouchaud trap model on the integers with regularly varying traps. In particular, it establishes that for almost every trapping landscape there exist arbitrarily large times at which the system is highly localised on one site, and also arbitrarily large times at which the system is completely delocalised.

研究の動機と目的

• Z 上の重い尾を持つトラップ分布を有するボーショ・トラップモデルにおけるクエンチド局在行動の分析を目的とする。
• ほとんどすべてのトラップ配置に対して、システムが単一のサイトに強く局在している状態と、完全に脱局在している状態とを無限に繰り返すことを確立することを目的とする。
• 有限平均トラップ（有限平均）の状態と無限平均トラップ（無限平均）の状態との間で、クエンチド行動に鋭い遷移が生じることを示すこと。
• 従来の局在に関する結果を拡張し、サイト確率分布の上限が 0 と 1 の間を無限に振動することを示すこと。

提案手法

• モデルは、各サイトに固有のトラップ時間 σx に反比例する遷移率を有する Z 上の連続時間マコフ過程として定義される。
• トラップ分布は、u ≥ 1 に対して P(σ₀ ≥ u) = u⁻ᵅ を満たし、指数 −α を持つ正則に変動する尾を持つことを意味する。
• 解析にはカップリングの議論と、特に有効抵抗および電気的ネットワーク理論を用いた到達時間の推定が用いられる。
• 主要な推定では、区間 2aₙ のサイズにおける期待到達時間 Eₓᵣ(τ(x,2aₙ)) を、トラップ配置の構造と調和測度を用いて評価する。
• 区間内でのトラップ値の最大値と合計値を制御するための補題が構築され、領域からの脱出に要する期待時間の上限が得られる。
• 証明は、確率的カップリング、マルコフ性、およびトラップ配置の漸近的解析を組み合わせ、supₓ Pσ(Xₜ = x) の liminf と limsup がそれぞれ 0 および 1 にほとんど確実に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z 上の正則に変動するトラップを有するボーショ・トラップモデルは、クエンチド法則のもとで、局在と脱局在の間を無限に繰り返すか？
• RQ2 トラップ分布の平均が無限大（α ≤ 1）である場合、t → ∞ のとき supₓ Pσ(Xₜ = x) のクエンチド漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 有限平均トラップ（α > 1）の状態と無限平均トラップ（α ≤ 1）の状態との間で、クエンチド局在行動はどのように異なるか？
• RQ4 α ∈ (0,1] に対して、サイト確率上限の liminf と limsup がそれぞれ 0 と 1 に特徴づけられるか？
• RQ5 トラップの尾が無限平均を有するほど重くなり始めると、クエンチドダイナミクスに鋭い遷移が生じるか？

主な発見

• ほとんどすべてのトラップ配置 σ に対して、t → ∞ 時の supₓ Pσ(Xₜ = x) の liminf は 0 である。これは、無限に頻繁に完全な脱局在が生じることを示している。
• ほとんどすべての σ に対して、t → ∞ 時の supₓ Pσ(Xₜ = x) の limsup は 1 である。これは、無限に頻繁に単一のサイトに完全に局在していることを示している。
• この結果は、尾指数 −α を持つ正則に変動する尾を持つトラップ分布を仮定した下で成り立ち、著者らはこれがより一般的な重尾分布へ拡張可能であると予想している。
• 対照的に、E[σ₀] < ∞（つまり α > 1）のとき、システムは均質化され、t → ∞ 時に supₓ Pσ(Xₜ = x) → 0 となる。これは α = 1 で鋭い遷移が生じることを示している。
• 本稿は、クエンチドダイナミクスが極めて大きな局在の揺らぎを示しており、確率密度関数が最大の無秩序状態と最大の集中状態の間を無限に振動することを確認している。
• 解析により、システムは任意に大きな時刻において、ランダムなトラップ配置の実現に応じて、極めて局在的であるか、完全に脱局在的であるかの両方の状態を取り得ることが示された。