[論文レビュー] Quiver varieties and Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A

Ivan Mirković, Maxim Vybornov|ArXiv.org|Dec 26, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、Beilinson-Drinfeld Grassmannian 内の冪零軌道への横断的スライスとして、型 A の中島のキーバーバリエティを構成し、キーバーバリエティの幾何的コンパクト化と、アフィン Grassmannian をキーバーバリエティの直積に分解することを可能にする。主な貢献は、Slodowy のものとは異なり、アフィン Grassmannian の幾何から自然に生じる新しい冪零軌道への横断的スライスであり、これは Springer のコホモロジーと畳み込み Grassmannian 間の同型を介して、非対称および対称 $(GL(m),GL(n))$ 対称性の幾何的実現を可能にする。

ABSTRACT

We construct Nakajima's quiver varieties of type A in terms of conjugacy classes of matrices and (non-Slodowy's) transverse slices naturally arising from affine Grassmannians. In full generality quiver varieties are embedded into Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A. Our construction provides a compactification of Nakajima's quiver varieties and a decomposition of an affine Grassmannian into a disjoint union of quiver varieties. As an application we provide a geometric version of skew and symmetric $(GL(m), GL(n))$ duality.

研究の動機と目的

• 行列の共役類とアフィン Grassmannian からの横断的スライスを用いて、中島の型 A キーバーバリエティを構成すること。
• キーバーバリエティを型 A の Beilinson-Drinfeld Grassmannian に埋め込み、幾何的コンパクト化を提供すること。
• アフィン Grassmannian をキーバーバリエティの直積に分解すること。
• コホモロジーと既約成分の同型を介して、非対称および対称 $(GL(m),GL(n))$ 対称性の幾何的実現を確立すること。
• Slodowy のものとは異なる、アフィン Grassmannian 構造から自然に生じる新しい冪零軌道への横断的スライスを導入すること。

提案手法

• 整数 $v=(v_1,\dots,v_{n-1})$, $d=(d_1,\dots,d_{n-1})$, 中心的要素 $c=(c_1,\dots,c_{n-1})$ を用いて、キーバーデータからキーバーバリエティ ${\mathfrak{M}}(v,d)$ と ${\mathfrak{M}}_0(v,d)$ を構成する。
• $\mathfrak{sl}(2)$-三重 $\{x,h,y\}$ の作用を用い、$h$ の固有値を非正とし、$y$ の作用が可能な限り正則になるように、$\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$ 内の冪零軌道 $\mathcal{O}_\lambda$ への新しい横断的スライス $T_\lambda$ を定義する。
• キーバーバリエティ、横断的スライス、畳み込み Grassmannian を結ぶ可換図式を構成するための代数的同型 $\phi$, $\widetilde{\phi}$, $\psi$, $\widetilde{\psi}$ を確立する。
• $GL(m)$ のアフィン Grassmannian $\mathcal{G}$ 及びその解体 $\pi: \widetilde{\mathcal{G}} \to \mathcal{G}$ を用い、ループ群の部分群 $L^{<0}G$ と $L^{\geq 0}G$ を導入する。
• 幾何的 Satake 対応を活用し、$\pi^{-1}(L_\lambda)$ の既約成分を表現論における重み空間と同定する。
• コホモロジーとキーバーバリエティの既約成分の間の同型を構成し、双対性の幾何的実現を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中島の型 A キーバーバリエティは、共役類とアフィン Grassmannian からの横断的スライスを用いてどのように構成できるか？
• RQ2 新しい横断的スライス $T_\lambda$ は、冪零軌道に対してどのような性質を持ち、スロドウイのスライスとはどのように異なるか？
• RQ3 この構成によって、$GL(m)$ のアフィン Grassmannian はキーバーバリエティの直積に分解可能か？
• RQ4 この構成は、非対称 $(GL(m),GL(n))$ 対称性の幾何的実現をどのようにもたらすか？
• RQ5 $\mathfrak{gl}(m)$ と $\mathfrak{gl}(n)$ 間の対称的双対性は、コホモロジーと既約成分の同型を通じてどのように確立できるか？

主な発見

• 本稿は、$\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$ 内の冪零軌道 $\mathcal{O}_\lambda$ への新しい横断的スライス $T_\lambda$ を構成し、$x + C$ として定義する。ここで $C$ は $[\mathfrak{gl}(N),x]$ の補空間であり、$h$ の作用が非正の固有値を持つ。これはスロドウイのスライスとは異なり、$y$ が $C$ 上に自明に作用するという点で異なる。
• 可換図式を形成する代数的同型 $\phi$, $\widetilde{\phi}$, $\psi$, $\widetilde{\psi}$ が存在し、キーバーバリエティがアフィン Grassmannian 内の横断的スライスと軌道の交わりと同定されることを示す。
• $GL(m)$ のアフィン Grassmannian $\mathcal{G}$ は、各成分がペア $(\lambda,\mu)$ に対応するキーバーバリエティ $\mathfrak{M}_0(v,d)$ の直積に分解される。
• この構成により、$\operatorname{Hom}_{GL(m)}(\wedge^{a_1}V \otimes \cdots \otimes \wedge^{a_n}V, V_\lambda)$ と $\pi^{-1}(L_\lambda)$ のコホモロジーとの同型を介した非対称 $(GL(m),GL(n))$ 対称性の幾何的実現が得られる。このコホモロジーは $\mathcal{H}(\mathfrak{L}(v,d))$ に同型である。
• コホモロジーと既約成分の同型を介して、$\operatorname{Hom}_{\mathfrak{gl}(n)}(\wedge^{c_1}W \otimes \cdots \otimes \wedge^{c_m}W, W_{\check{\lambda}})$ と $\operatorname{Hom}_{\mathfrak{gl}(m)}(\operatorname{Sym}^{c_1}V \otimes \cdots \otimes \operatorname{Sym}^{c_m}V, V_\lambda)$ 間の対称的双対性が、$\pi^{-1}(L_\lambda)$ の既約成分と Spaltenstein ファイバーの同型を通じて確立される。
• $\phi$ の同型は、特に $c=0$ の場合、明示的な簡単な式で与えられ、従来の存在論的アプローチに比べて構成がより明確である。