[論文レビュー] Quotient curves of the Deligne-Lusztig curve of Suzuki type

Massimo Giulietti, Gábor Korchmáros+1 more|ArXiv.org|Jun 28, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、Suzuki型のDeligne-Lusztig曲線の商曲線を分類し、Suzuki群 $\mathcal{S}z(q)$ の部分群から生じる商曲線に注目する。特に対称的で明示的な平面方程式と、奇数位の部分群から生じる「鈍い」商曲線（tame quotients）の種数公式を提供するとともに、偶数位の部分群から生じる「非鈍い」商曲線（non-tame quotients）の存在を確立し、種数公式を導出する。特に $\mathcal{S}z(\bar{q})$ に同型な部分群のケースも含む。主な貢献は、有限体上でのSuzuki群作用下における商曲線の種数と方程式の包括的分類である。

ABSTRACT

Inspired by a recent paper of Garcia, Stichtenoth and Xing [2000, Compositio Math. 120, 137--170], we investigate the quotient curves of the Deligne-Lusztig curve associated to the Suzuki group.

研究の動機と目的

• Suzuki群 $\mathcal{S}z(q)$ の部分群から生じるSuzuki型のDeligne-Lusztig曲線のすべての商曲線を分類すること。
• 奇数位の部分群から生じる「鈍い」商曲線に対して、明示的な平面方程式と種数公式を提供すること。
• 偶数位の部分群から生じる「非鈍い」商曲線の存在を確立し、種数公式を導出すること。この場合、同型でない部分群の数が多すぎるため、完全な分類は不可能である。
• 位数 $4r$ で $r>1$ が $q\pm 2q_0+1$ を割る部分群、および $\mathcal{S}z(\bar{q})$ に同型な部分群（特定の算術的条件を満たす）から生じる商曲線を分析すること。
• 従来の研究を拡張し、明示的な方程式と種数計算を含む、鈍いおよび非鈍い両ケースを体系的に取り扱うこと。

提案手法

• 鈍い商曲線に対しては、Hurwitzの種数公式と $\mathcal{S}z(q)$ の奇数位の部分群の群論的解析を用いて、種数公式と平面方程式を導出する。
• 本稿では、$X$ と $Y$ における単項式および対称関数を用いて定義される有理写像 $\psi_r$ を用いて、明示的な平面モデルを構成する。係数には $2^i$ 乗の和が含まれる。
• 非鈍い商曲線に対しては、位数 $4r$ および $\mathcal{S}z(\bar{q})$ の部分群にHurwitzの種数公式を適用し、群の元の共役類データから分岐因子の次数を計算する。
• 群の元の固定点を数えることと、$g_{\mathcal{U}} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{P} (e_P - 1)$ という公式（$e_P$ は分岐指数）を用いて、種数公式を導出する。
• 対称関数の恒等式と二項係数の展開を用いて、特に $\sum (-1)^{i+j} \frac{(i+j-1)!}{i!j!} X^{ri} Y^j = \text{多項式}$ の形の曲線に対して、明示的な平面方程式を導出する。
• 本稿の分析は、DLS曲線の既知の自己同型群 $\mathcal{S}z(q)$ 及びその部分群構造（Singer部分群やFrobenius群の正規化群を含む）に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Suzuki群 $\mathcal{S}z(q)$ の部分群から生じるSuzuki型のDeligne-Lusztig曲線の商曲線の可能な種数は何か？
• RQ2 奇数位の部分群から生じるすべての「鈍い」商曲線に対して、明示的な平面方程式を導出できるか？
• RQ3 偶数位の部分群から生じる「非鈍い」商曲線に対して、どのような種数公式と幾何的モデルを構築できるか？
• RQ4 部分群が $\mathcal{S}z(\bar{q})$ に同型であり、$\bar{q} = 2^{2\bar{s}+1}$ で $\bar{s} \mid s$ かつ $2\bar{s}+1 \mid 2s+1$ を満たす条件下で、種数はどのように変化するか？
• RQ5 位数 $4r$ または $\mathcal{S}z(\bar{q})$ の部分群から生じる商曲線におけるHurwitz公式の分岐因子の構造は何か？

主な発見

• 奇数位の部分群から生じる「鈍い」商曲線に対しては、$r \mid q-1$ のとき種数は $g = \frac{q-1}{r}q_0$ であり、$X^{2^i}$ 項の和を含む特定の対称的方程式を持つ、$\mathbb{F}_q$ 上の非特異曲線のモデルである。
• $r \mid q+2q_0+1$ のとき、種数は $g = \frac{q+2q_0+1}{r}(q_0-1)+1$ であり、$\mathbb{F}_{q^4}$ 上の非特異曲線のモデルで、$Y^{(q+2q_0+1)/r}$ と $X^{2^i q_0}(1+X)^{2^i(q_0+1)-q_0}$ 項の和を含む平面方程式を持つ。
• $r \mid q-2q_0+1$ のとき、種数は $g = \frac{q-2q_0+1}{r}(q_0+1)-1$ であり、$\mathbb{F}_{q^4}$ 上の非特異曲線のモデルで、定数 $b = \lambda^{q_0} + \lambda^{q_0-1} + \lambda^{-q_0} + \lambda^{-q_0+1}$ と $X^{2^i(2q_0+1)-(q_0+1)}(1+X)^{2^i}$ 項の和を含む平面方程式を持つ。
• 位数 $4r$ の非鈍い商曲線に対しては、$r \mid q+2q_0+1$ のとき $g = \frac{1}{4}\left[\frac{q_0(q-1)-1}{r} - (q_0-1)\right]$ であり、$r \mid q-2q_0+1$ のとき $g = \frac{1}{4}\left[\frac{q_0(q-1)+1}{r} - (q_0+1)\right]$ である。
• $\bar{q} = 2^{2\bar{s}+1}$、$\bar{s} \mid s$、$2\bar{s}+1 \mid 2s+1$ を満たす $\mathcal{S}z(\bar{q})$ に同型な部分群に対しては、種数は $g = \frac{q_0(q-1)-1 + (\bar{q}^2+1)\bar{q}^2(\bar{q}-1) + \Delta}{(\bar{q}^2+1)\bar{q}^2(\bar{q}-1)}$ である。ここで $\Delta$ は $\bar{q}$、$q_0$、$\bar{q}_0$ を含む複雑な式である。
• いくつかのケースに対して明示的な平面方程式が提供されている。特に、$r \mid q+2q_0+1$ のとき、$1 + \sum_{i=0}^{s-1} X^{2^i(2q_0+1)-(q_0+1)}(1+X)^{2^i} = \sum (-1)^{i+j} \frac{(i+j-1)!}{i!j!} Y^i X^{rj}(X^{q_0}+1)$ で定義される曲線は、(iii)の場合の種数をもつ商曲線をモデル化する。