[論文レビュー] R-torsion and linking numbers from simplicial abelian gauge theories

David Adams|ArXiv.org|Dec 1, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、三角形分割された3次元多様体上で、連続的な Chern-Simons 理論の分配関数が R- torsion として再現され、Wilson ループの真空期待値がリンク数として再現される単体的アーベルゲージ理論を構築する。三角形分割とその双対三角形分割の両方にゲージ場を導入することで、ホッジ作用素の離散的類似が実現され、トポロジカル不変量の正確な一致が可能になる。これは、保存される主要な対称性を保ちつつ、離散的結合定数における ${\bf Q}/{\bf Z}$-値の torsion ペアリングをもたらすねじれ作用素関数を介して達成される。

ABSTRACT

Simplicial versions of topological abelian gauge theories are constructed which reproduce the continuum expressions for the partition function and Wilson expectation value of linked loops, expressible in terms of R-torsion and linking numbers respectively. The new feature which makes this possible is the introduction of simplicial fields (cochains) associated with the dual triangulation of the background manifold, as well as with the triangulation itself. This doubling of fields, reminiscent of lattice fermion doubling, is required because the natural simplicial analogue of the Hodge star operator maps between cochains of a triangulation and cochains of the dual triangulation. The simplicial analogue of Hodge-de Rham theory is developed, along with a natural simplicial framework for considering linking numbers of framed loops. When the loops represent torsion elements of the homology of the manifold then Q/Z-valued torsion pairings appear in place of linking numbers for certain discrete values of the coupling parameter of the theory.

研究の動機と目的

• 三角形分割された奇数次元多様体上でのアーベル Chern-Simons 理論の離散版を構築し、連続理論のトポロジカル不変量を再現すること。
• 分配関数が R- torsion に評価され、Wilson v.e.v. が離散的設定においてリンク数に一致することを保証すること。
• 単体的ホッジ作用素の類似が存在しない問題を、三角形分割とその双対の両方に場を導入することで解決し、格子フェルミオンの二重化を模倣すること。
• ループがホモロジー群の torsion 要素を表す場合にまで理論を拡張し、有理数リンク数の代わりに ${\bf Q}/{\bf Z}$-値の torsion ペアリングをもたらすこと。
• v.e.v. が非自明になり、ホモロジー類にのみ依存する離散的結合定数 $\lambda = \pi/(2l)$ または $\lambda = \pi/l$ を特定すること。

提案手法

• 三角形分割上のコチェーンとしてのゲージ場と、その双対三角形分割上の別のゲージ場を導入し、ホッジ作用素の双対性をモデル化する。
• 2つの場を結合するねじれ作用素関数を定義し、単体的外微分、双対微分、双対性作用素の連続的類似の相互作用を保存する。
• 三角形分割とその双対三角形分割上のコチェーンを用いたホッジ–ド・ラーム理論の単体的類似を構築し、双対性作用素がホッジ作用素の役割を果たすようにする。
• 双対性作用素 $\ast^{\widehat{K}}$ を用いて、双対複体上のコチェーンを元の複体上のコチェーンに関連づけ、Chern–Simons 作用素の離散版の構成を可能にする。
• 離散的 Gauss-Bonnet 定理とコhomology ペアリングを適用し、$\mathbb{Z}$ を法とするコチェーン内積として、リンク数と torsion ペアリングの式を導出する。
• ループがホモロジー群の torsion 要素を表す場合の平坦接続におけるモノドロミー不変性を考慮し、v.e.v. の式にホモロジー類依存の因子を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的アーベルゲージ理論を構築可能か。その分配関数が Reidemeister–Franz (R-) torsion を計算するか。
• RQ2 離散理論におけるリンクされたループの Wilson 真空期待値が、連続的な Chern-Simons 理論で得られるリンク数を再現できるか。
• RQ3 三角形分割とその双対の間をコチェーンが移動するホッジ作用素の単体的類似をどのように実現できるか。
• RQ4 ループが多様体のホモロジー群の torsion 要素を表す場合、v.e.v. はどのように変化するか。
• RQ5 結合定数パラメータ $\lambda$ のどの離散的値で v.e.v. が非自明になり、それらがどのようなトポロジカル不変量を計算するか。

主な発見

• 結合定数 $\lambda = 1$ のとき、単体的ゲージ理論の分配関数は多様体の R- torsion に一致する。
• フレーム付きループの Wilson v.e.v. はリンク数 $\mathrm{lk}(\gamma^{(j)}, \gamma^{(m)})$ で与えられ、双対性作用素の逆行列を含むコチェーンペアリングから導出される。
• torsion 要素を表すループに対しては、v.e.v. は ${\bf Q}/{\bf Z}$-値の torsion ペアリング $\mathrm{tor}([\underline{f}_K], [\underline{g}_{\widehat{K}}]) = \frac{1}{k_1k_2}\mathrm{lk}(k_1f_K, k_2g_{\widehat{K}})$ に依存し、標準的なリンク数に置き換わる。
• v.e.v. は Chern–Simons 理論では $\lambda = \pi/(2l)$、BF 理論では $\lambda = \pi/l$ の離散的結合定数でのみ非自明になり、$l \in \mathbb{Z}$。
• ループが torsion 要素を表す場合、モノドロミー $\Phi(P, \gamma, n)$ は平坦 bundle $P$ のみに依存し、v.e.v. の式に全体因子 $\prod_{j=1}^r \Phi(P, \gamma^{(j)}, n_j)$ が現れる。
• 作用素、双対性作用素、コチェーン微分の間の相互作用が連続的状況と正確に一致する、自然な離散化が達成され、トポロジカル不変性と正しいトポロジカル不変量が保証される。