[論文レビュー] R/Z-valued index theory via geometric K-homology

Robin J. Deeley|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、C*-代数における写像コーンを用いて、R/Z係数のK-ホモロジーの幾何的モデルを構築し、相対η不変量を介してR/Z値のインデックスペアリングの幾何的実現を提供する。KK理論における2つの同型な幾何的モデルを導入する。1つはB-バンドル束に基づくサイクルに依存し、もう1つは直接的にボルディズム関係を組み込むものであり、最終的にLottの解析的R/Zインデックスペアリング（η不変量に基づく）と同等であることを示す。

ABSTRACT

A model of K-homology with coefficients in a mapping cone using the framework of the geometric cycles of Baum and Douglas is developed. In particular, this leads to a geometric realization of K-homology with coefficients in R/Z. In turn, this group is related to the relative eta-invariant via index pairings.

研究の動機と目的

• Baum-Douglasサイクルの枠組みを用いて、R/Z係数のK-ホモロジーの幾何的モデルを構築すること。
• ∗-準同型φ: B₁ → B₂の写像コーンCφを用いて、KK(C(X), Cφ)の2つの同型な幾何的モデルを構築すること。
• 相対η不変量を介して、K∗(X; R/Z) × K∗(X) → R/Zへのインデックスペアリングの幾何的実現を確立すること。
• 幾何的インデックスペアリングが、微分形式およびChern-Simons理論に基づくLottの解析的R/Zインデックスペアリングと一致することを証明すること。

提案手法

• サイクル (M, [EB₁, FB₁, ϕ], f) を用いて、KK(C(X), Cφ) の幾何的K-ホモロジーのモデルを構築する。ここで [EB₁, FB₁, ϕ] は K₀(C(M) ⊗ Cφ) の元を表す。
• ボルディズムにやや寄与する2番目のモデルを導入し、サイクル (W, (EB₂, FB₁, α), f) を用いる。ここでWは境界を持つspinc多様体であり、αは∂W上でのバンドル同型を符号化する。
• 離散和、ボルディズム、ベクトル束の変更による同値関係を定義し、写像コーンの完全系列と整合性を保証する。
• 5節で2つの幾何的モデルの明示的同型を確立し、それらが同型なK-ホモロジー理論をもたらすことを示す。
• 界面および接合データを扱うために、「角をまっすぐにする」技術とクラッチング構成を用いる。
• Dirac作用素、Chern-Simons形式、Todd類を含む詳細な計算を通じて、幾何的インデックス写像と解析的η不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Baum-DouglasサイクルとC*-代数における写像コーンの枠組みを用いて、R/Z係数のK-ホモロジーの幾何的モデルを構築できるか？
• RQ2 相対η不変量は、R/Z係数のK-ホモロジーとのインデックスペアリングとして、どのように幾何的に実現できるか？
• RQ3 提案されたKK(C(X), Cφ)の2つの幾何的モデルは同型であるか？また、明示的な同型写像を構成できるか？
• RQ4 R/Z係数の幾何的インデックスペアリングは、微分形式およびChern-Simons形式に基づくLottの解析的ペアリングと一致するか？
• RQ5 幾何的構成は、η不変量を通じて、高次のAtiyah-Patodi-Singerインデックス理論と結びつけることができるか？

主な発見

• 本稿は、∗-準同型φ: B₁ → B₂の写像コーンCφのR/Z係数のK-ホモロジーについて、2つの同型な幾何的モデルを構築し、KK(C(X), Cφ)の幾何的実現を提供する。
• 2番目のモデル、すなわちサイクル (W, (EB₂, FB₁, α), f) を用いるものでは、ボルディズム関係が自然に組み込まれており、1番目のモデルの技術的困難を回避する。
• 幾何的インデックス写像 K₀(pt; R/Z) → R/Z が、相対η不変量を用いて定義された解析的R/Zインデックスペアリングと同等であることが示された。
• 幾何的ペアリング K₁(X; R/Z) × K₁(X) → R/Z は、Lottの解析的ペアリングと一致し、η不変量およびChern-Simons形式を含むインデックス式の等価性を示すことで証明された。
• 計算により、indR/Z(F) = η₁ − η₂ − ∫_M Todd(M) ∧ ch(E) ∧ f∗(CSN( ˜∇₁, ϕ∗( ˜∇₂))) mod Z が成り立つことが確認され、解析的・幾何的対応関係が確立された。
• 本構成により、R/Z値インデックス理論の完全な幾何的フレームワークが得られ、幾何的サイクルがη不変量および微分K理論と結びついた。