[論文レビュー] Radon-Nikodym approximation in application to image analysis

Vladislav Gennadievich Malyshkin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Image and Signal Denoising Methods被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、従来の最小二乗近似の代わりに、基底関数の二乗形式の比を用いるラドン＝ニコディムに基づく画像再構成法を提案している。この手法により境界付近の振動が著しく低減され、数値的安定性が向上する。行列モーメント $<fQ_jQ_k>$ をベクトルモーメント $<fQ_k>$ の代わりに用いることで、特にレジェンドルやチェビシェフなどの安定な多項式基底を用いる場合に、より頑健な画像再構成、特徴推定、変換表現が可能になる。

ABSTRACT

For an image pixel information can be converted to the moments of some basis $Q_k$, e.g. Fourier-Mellin, Zernike, monomials, etc. Given sufficient number of moments pixel information can be completely recovered, for insufficient number of moments only partial information can be recovered and the image reconstruction is, at best, of interpolatory type. Standard approach is to present interpolated value as a linear combination of basis functions, what is equivalent to least squares expansion. However, recent progress in numerical stability of moments estimation allows image information to be recovered from moments in a completely different manner, applying Radon-Nikodym type of expansion, what gives the result as a ratio of two quadratic forms of basis functions. In contrast with least squares the Radon-Nikodym approach has oscillation near the boundaries very much suppressed and does not diverge outside of basis support. While least squares theory operate with vectors $$, Radon-Nikodym theory operates with matrices $$, what make the approach much more suitable to image transforms and statistical property estimation.

研究の動機と目的

• 限られたモーメントからの標準的最小二乗画像再構成に内在する不安定性と境界付近の振動を解消すること。
• 最近のモーメント計算の進展を活用して、高次モーメントを用いた数値的に安定した画像再構成手法を開発すること。
• ラドン＝ニコディム微分を介して画像再構成を二つの二次形式の比に再定式化し、頑健性と解釈可能性を向上させること。
• モーメントに基づく表現における行列代数を活用して、効率的な画像変換と統計的性質の推定を可能にすること。
• 一般化固有値分解を用いて「自然基底」を導入し、コン pact で安定な画像表現を実現すること。

提案手法

• ベクトルモーメント $<fQ_k>$ を用いる最小二乗近似の代わりに、行列モーメント $<fQ_jQ_k>$ を用いるラドン＝ニコディムアプローチを採用する。
• 基底関数と逆グラム行列から導かれる局所化状態 $\psi_{x_0}(x)$ を用いて、正の重みを持つ再構成カーネルを定義し、振動を抑制する。
• ラドン＝ニコディム近似 $A_{RN}(x)$ を、二つの二次形式の比として導出する：$\sum_{i,j,k,m} Q_i(x) G^{-1}_{ij} <fQ_jQ_k> G^{-1}_{km} Q_m(x)$ を $\sum_{i,j} Q_i(x) G^{-1}_{ij} Q_j(x)$ で割ったもの。
• 一般化固有値問題 $\sum_m <Q_k f Q_m> \psi_m^{(s)} = \lambda^{(s)} \sum_m <Q_k Q_m> \psi_m^{(s)}$ を用いて「自然基底」$\psi^{(s)}(x)$ を計算し、両モーメント行列を対角化する。
• 自然基底におけるリーマン型積分の概念を適用し、測度 $\mu_i$ を値の区間 $[f_i, f_i + df)$ 内の固有値 $\lambda^{(s)}$ の個数として定義することで、頑健な統計的推定を可能にする。
• 直交基底（レジェンドル、チェビシェフ、ラゲール、エルミート）を用いた安定な数値ライブラリを活用し、高次モーメントを正確に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラドン＝ニコディムに基づく再構成は、限られたモーメントからの画像再構成において、境界付近の振動を最小二乗法よりも効果的に抑制できるか？
• RQ2 行列ベースのアプローチ（$<fQ_jQ_k>$ モーメント）は、ベクトルベースの最小二乗法と比較して、どのように数値的安定性を向上させるか？
• RQ3 モーメント行列上の一般化固有値問題は、「自然基底」を導出し、画像表現および処理を単純化できるか？
• RQ4 画像変換や統計的性質は、どの程度までモーメントに基づく表現の行列トレースとして表現できるか？
• RQ5 自然基底におけるリーマン型積分（固有値の個数を測度とする）は、画像解析における標準的なピクセルベースのリーマン型積分と比較して、どのように異なるか？

主な発見

• ラドン＝ニコディムアプローチにより、再構成は基底関数の二つの二次形式の比として得られ、重み関数の正の性質により、境界付近での振動が本質的に抑制される。
• 最小二乗法とは異なり、この手法は基底関数の定義域外でも発散しないため、より信頼性の高い外挿挙動を示す。
• ベクトルモーメント $<fQ_k>$ の代わりに行列モーメント $<fQ_jQ_k>$ を用いることで、行列代数を介した画像特徴および変換の安定計算が可能になる。
• 一般化固有値問題により得られる「自然基底」$\psi^{(s)}(x)$ は、画像モーメント行列とグラム行列の両方を対角化し、相関や平均の計算を単純化する。
• 画像の平均値や相互相関は、行列トレースとして計算可能であり、たとえば $\overline{f} = \mathrm{Tr}(G^{-1} <fQ_jQ_k>) / \dim G$ のように表される。これにより、効率的な統計的推定が可能になる。
• 自然基底におけるリーマン型積分では、値の区間内の固有値の個数を測度として用いるため、ピクセルベースの密度推定とは異なり、基底に依存しない安定な代替手段が得られる。