[論文レビュー] $γ$-Radonifying operators -- a survey

Jan van Neerven|Project Euclid (Cornell University)|Nov 19, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 90被引用数 50

ひとこと要約

本調査では、バナッハ空間における確率積分の基礎的道具としてγ-ラドニコフ作用素の理論を提示し、Eに値をとるブラウン運動に関するE-値確率積分の被積分関数の適切な定義域が、L²(ℝ₊)からバナッハ空間Eへのγ-ラドニコフ作用素の空間であることを確立している。主な貢献は、γ(L²(ℝ₊), E)におけるイトの等長性の拡張であり、確率積分がwell-definedであり、γ-ラドニコフ作用素ノルムに関して等長同型であることを示しており、Eがヒルベルト空間に同型である場合に限り、ヒルベルト空間構造と同値である。

ABSTRACT

We present a survey of the theory of $γ$-radonifying operators and their applications to stochastic integration in Banach spaces.

研究の動機と目的

• 一般のバナッハ空間における確率積分の枠組みとして、γ-ラドニコフ作用素の理論を体系化すること。
• 円柱ガウス過程が実際にラドニコフ測度となる条件を明確にし、バナッハ空間における強いガウス確率変数の構成を可能にすること。
• Eに値をとるブラウン運動に関する確率積分の被積分関数の自然な空間がγ(L²(ℝ₊), E)であることを確立し、L²(ℝ₊; E)に置き換えること。
• γ-ラドニコフ作用素の枠組みを通じて、確率解析、ガウス過程、作用素イデアルの結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• Hをヒルベルト空間とするとき、H → L²(Ω) となる等ノルム過程Wを抽象的積分子として用いる。
• γ-ラドニコフ作用素を、有界線形作用素T: H → Eであって、T∘Wがラドニコフ（Eにおける強く可測なガウス確率変数を誘導する）であるようなものとして定義する。
• γ-乗数定理およびホフマン＝ヨルゲンセンとクワピエンの定理を用い、ガウスの混沌とラドン＝ニコディム型条件を用いてγ-ラドニコフ作用素を特徴付ける。
• タイプとコタイプ理論、K-凸性、埋め込み定理を用い、γ-ラドニコフ性がバナッハ空間の幾何的性質とどのように関係するかを明らかにする。
• γ-等長性の証明：初等過程に対してE‖∫₀^∞ φ dB‖² = ‖φ̃‖²_γ(L²(ℝ₊),E) が成り立ち、古典的イトの等長性を拡張する。
• 解作用素RTがγ-ラドニコフであるという条件を用いて、確率的コーシー問題に理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間E上の円柱ガウス過程が実際にラドニコフ（すなわち、強く可測なガウス確率変数によって誘導される）であるための条件は何か？
• RQ2 なぜEに値をとるブラウン運動に関する確率積分の定義において、L²(ℝ₊; E)よりもγ(L²(ℝ₊), E)がより適切な空間であるのか？
• RQ3 バナッハ空間Eのどのような幾何的または構造的性質が、確率積分作用素がγ-ラドニコフであることを保証するのか？
• RQ4 γ-ラドニコフ作用素は、古典的な概念（ヒルベルト＝シュミット作用素、p-絶対的和集合作用素、タイプ／コタイプ）とどのように関係するか？
• RQ5 確率的コーシー問題の解作用素がγ-ラドニコフであるための必要十分条件は何か？

主な発見

• ブラウン運動に関する確率積分は、γノルムに関して等長同型である：初等過程に対してE‖∫₀^∞ φ dB‖² = ‖φ̃‖²_γ(L²(ℝ₊),E) が成り立つ。
• E-値確率積分の被積分関数の正しい定義域はγ(L²(ℝ₊), E)である。もしL²(ℝ₊; E) ≃ γ(L²(ℝ₊), E) ならば、Eはヒルベルト空間に同型である。
• 有界作用素T: H → Eがγ-ラドニコフであるための必要十分条件は、Tが等ノルム過程W: H → L²(Ω)をE上のラドニコフ測度に写像することである。
• 確率的コーシー問題dU = AU dt + B dWHに対して、弱解が存在するための必要十分条件は、解作用素RTがγ-ラドニコフであることである。Eがタイプ2であり、B ∈ γ(H, E) ならば成立するし、Sが解析的であり、B ∈ γ(H, E) ならば同様に成立する。
• 不定積分I: L²(0,1) → Cα[0,1] は0 ≤ α < 1/2に対してγ-ラドニコフであるが、B^{1/2}_{p,∞}(0,1) へのγ-ラドニコフ性は、BMOノルムのほとんど確実な有界性の欠如により失敗する。
• 臨界的空間B^{1/2}_{p,∞}(0,1) は、ブラウン運動のパスが強い意味でこの空間にほとんど確実に入らないこと（P(‖B‖_{B^{1/2}_{p,∞}} ≥ C) = 1）により、γ-ラドニコフ積分の対象から除外される。