[論文レビュー] Rainbow Connection Number and Radius

Manu Basavaraju, L. Sunil Chandran+2 more|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Nov 2, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、半径 r および弦的性 k を用いて、ブリッジのないグラフのレインボーコネクティビティ数 (rc(G)) のタイトな上界を確立し、rc(G) ≤ r(r+2) および rc(G) ≤ rk を証明する。一般の連結グラフに対しては、BFSに基づく多段階支配集合と耳分解を活用し、最小限の色数でレインボーコネクティビティを保証する O(nm)-時間の (r+3)-近似アルゴリズムを構成的に提案する。

ABSTRACT

The rainbow connection number, rc(G), of a connected graph G is the minimum number of colours needed to colour its edges, so that every pair of its vertices is connected by at least one path in which no two edges are coloured the same. In this note we show that for every bridgeless graph G with radius r, rc(G) <= r(r + 2). We demonstrate that this bound is the best possible for rc(G) as a function of r, not just for bridgeless graphs, but also for graphs of any stronger connectivity. It may be noted that for a general 1-connected graph G, rc(G) can be arbitrarily larger than its radius (Star graph for instance). We further show that for every bridgeless graph G with radius r and chordality (size of a largest induced cycle) k, rc(G) <= rk. It is known that computing rc(G) is NP-Hard [Chakraborty et al., 2009]. Here, we present a (r+3)-factor approximation algorithm which runs in O(nm) time and a (d+3)-factor approximation algorithm which runs in O(dm) time to rainbow colour any connected graph G on n vertices, with m edges, diameter d and radius r.

研究の動機と目的

• 半径 r の関数として、ブリッジのないグラフのレインボーコネクティビティ数 (rc(G)) のタイトな上界を確立すること。
• 特に高い連結性を示すグラフにおいても、rc(G) が半径のみの関数で抑えられるかどうかを調査すること。
• 証明可能な性能保証を持つ、一般の連結グラフに対する効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• 弦的性や等長サイクルサイズの制限といった追加の構造的制約が、rc(G) に対して半径に関する線形上界をもたらすかを検討すること。

提案手法

• BFS を用いて反復的に k ステップ支配集合を拡大し、支配集合内の頂点間の経路（耳）に色を塗ることで、ブリッジのないグラフのレインボーカラーを構築する。
• 色の重複を避けるために、2つの互いに素な色のプール A と B を用い、耳の拡張中に発生する衝突を防止する。色の割り当ては、耳が支配集合内の頂点に接続するかどうかに依存する。
• Foot(u) データ構造を用いて、支配集合へのBFSパス上の最後の2頂点を追跡し、適切な耳の検出と色の順序付けを可能にする。
• k ステップ支配集合から (k-1) ステップ支配集合を再帰的に構築し、適切に色が割り当てられた辺を通じて、レインボーコネクティビティを維持する。
• ブリッジを最初に単一頂点に縮約することで、一般の連結グラフに対しても同様の手法を拡張し、得られたブリッジのないグラフを色塗りした後、元のブリッジに一意な色を割り当てる。
• O(m) 時間のブリッジ検出アルゴリズムと本色塗りアルゴリズムを組み合わせ、2つの近似アルゴリズムを生成する：1つは O(nm) 時間で (r+3)-要因、もう1つは O(dm) 時間で (d+3)-要因のもの。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリッジのないグラフのレインボーコネクティビティ数は、半径のみの関数で上界付けられるか？
• RQ2 強化された連結性仮定のもとでも、rc(G) ≤ r(r+2) がタイトな上界であるか？
• RQ3 弦的性や等長サイクルサイズの制限といった追加の構造的制約が、半径に関する rc(G) の線形上界をもたらすか？
• RQ4 半径または直径をパラメータとして用いた場合、一般の連結グラフに対するレインボーカラーの近似要因として達成可能な値は何か？
• RQ5 証明可能な時間計算量と近似保証を持つ、レインボーカラーの構成的アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 任意の半径 r を持つブリッジのないグラフ G に対して、rc(G) ≤ r(r+2) が成り立ち、この上界は 1-エッジ連結より強い連結性を持つグラフに対してもタイトである。
• 弦的性 k（最大の誘導サイクルのサイズ）を持つブリッジのないグラフに対しては、rc(G) ≤ rk が成り立ち、これは一般のブリッジのないグラフに対して既知の 4n/5−1 よりも改善された上界である。
• 提案されたアルゴリズムは、任意の連結グラフに対して O(nm) 時間で (r+3)-近似を達成し、r は rc(G) の下界として用いられる。
• 代替の (d+3)-近似アルゴリズムは O(dm) 時間で動作し、直径 d が小さいグラフに対してはより高速な選択肢を提供する。
• アルゴリズムは構成的であり、交互に色のプールを切り替える耳の色塗りにより、支配集合内の頂点間のすべての経路がレインボーとなるように保証する。
• ブリッジを最初に縮約し、その後ブリッジのないグラフ用のアルゴリズムを適用することで、一般の連結グラフへも拡張可能であり、最終的な色数は rc(G) ≤ r(r+2) + b で抑えられる（b はブリッジの数）。