[論文レビュー] Ramanujan and Labos primes, their generalizations and classifications of primes

Vladimir Shevelev|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、区間 (x, 2x) における素数分布の対称的性質に基づき、一般化されたラマヌジャン素数およびラボス素数を導入し、それらを v-over-Ramanujan 素数および v-over-Labos 素数に拡張する。素数を特定する2つのスieve法を構築し、素数の v-分類を提案する。漸近的密度に関する予想はヒューリスティックな解析によって支持され、v が増加するにつれて v-擬ラマヌジャン素数の割合が減少することが示されている。

ABSTRACT

Considering Ramanujan primes and the symmetric to them so-called Labos primes, we study their parallel properties, we study all primes with these properties (generalized Ramanujan and Labos primes) and construct two kinds of sieves for them. Finally, we give a further natural generalization of these constructions and pose some conjectures and open problems.

研究の動機と目的

• 素数分布の対称的性質に基づき、ラマヌジャン素数およびラボス素数の一般化形を導入すること。
• v-over-Ramanujan 素数および v-over-Labos 素数を特定する2つの新しいスieve法を開発すること。
• 区間内での挙動に基づき、素数を v-左、v-右、v-中央、v-孤立の4種類に分類すること。
• ヒューリスティックな解析を用いて、これらの一般化された素数クラスの漸近的密度に関する予想を提示・支持すること。
• ラマヌジャン素数およびラボス素数に見られる対称的構造の欠如を補うために、擬ラマヌジャン素数および擬ラボス素数を導入し、素数列の秩序を回復すること。

提案手法

• v-over-Ramanujan 素数および v-over-Labos 素数を、$ p_m < p/v < p_{m+1} $ であるとき、$ (p, vp_{m+1}) $ に素数が存在する（ラマヌジャンの場合）または $ (\lfloor vp_m \rfloor - \varepsilon, p) $ に素数が存在する（ラボスの場合）という条件によって定義する。
• 対称的条件を満たすが真の v-ラマヌジャン素数または v-ラボス素数でない素数を、v-擬ラマヌジャン素数および v-擬ラボス素数と定義する。
• 第一のスieveは、ベルトランに類似した列 $ b_v(n) $ を用い、再帰的に $ \lceil v b_v(n-1) \rceil + \varepsilon $ よりも小さい最大の素数として定義される。
• 第二のスieveは、区間 $ (\lfloor kv \rfloor - \varepsilon, \lceil (k+1)v \rceil + \varepsilon) $ を用い、各区間の素数をすべて保持するが、最後の区間を除く。
• 区間内での $ p/v $ に対する包含関係に基づき、素数を v-左、v-右、v-中央、v-孤立の4種類に v-分類する。
• ヒューリスティックな議論を用いて、各クラスの漸近的密度の公式を導出し、$ \pi_{R_v'}(x) \sim \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $ という予想2を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 v-over-Ramanujan 素数の素数全体における漸近的密度は何か？ また、それは v にどのように依存するか？
• RQ2 擬ラマヌジャン素数および擬ラボス素数を導入することで、ラマヌジャン素数とラボス素数の間で対称的分類を確立できるか？
• RQ3 v が増加するにつれて、v-左、v-右、v-中央、v-孤立素数の密度はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 v-over-Ramanujan 素数の中での v-擬ラマヌジャン素数の割合は何か？ また、それは v にどのように依存するか？
• RQ5 与えられた v > 1 に対して、v-擬ラマヌジャン素数、v-中央素数、v-孤立素数の最小値は何か？

主な発見

• 一般化されたラマヌジャン素数およびラボス素数の列は、$ R'_v(1) \leq L'_v(1) \leq R'_v(2) \leq L'_v(2) \leq \cdots $ を満たし、元の列で失われた順序を回復する。
• v-over-Ramanujan 素数の数関数は $ \pi_{R_v'}(x) \sim \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $ を満たし、その中での v-擬ラマヌジャン素数の割合は $ \frac{v}{(v-1)e^v + 1} $ である。
• v-左および v-右素数の密度は漸近的に $ \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{e^v - 1}\right)\pi(x) $ であり、v-中央素数の密度は $ \left(\frac{v-1}{v} + \frac{1}{e^v - 1}\right)^2\pi(x) $ である。
• v-孤立素数の密度は $ \left(\frac{1}{v} - \frac{1}{e^v - 1}\right)^2\pi(x) $ であり、4つの密度の合計は $ \pi(x) $ に等しく、分類の完全性が確認される。
• 大きな $ v \ln p_n $ の場合、すべての密度の漸近的近似が成立すると予想され、$ v \to \infty $ のとき v-擬ラマヌジャン素数の割合は 0 に、$ v \to 1^+ $ のとき 1 に近づく。
• 区間 $ (\lfloor kv \rfloor - \varepsilon, \lceil (k+1)v \rceil + \varepsilon) $ を用いたスieveは、3-over-Ramanujan 素数の列を正しく生成し、OEIS A164952 と一致する。