[論文レビュー] Ramification of surfaces: sufficient jet order for wild jumps

I. B. Zhukov|ArXiv.org|Jan 9, 2002

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正標数の正則な表面の関数体の有限ガロア拡大における、野生的分岐のジャンプが、分岐点における曲線のジェット順序にのみ依存することを確立する。弧理論的技法と特異曲線の不変量を用いて、十分に接する曲線が同一の分岐ジャンプを与えることを証明し、さらに群論的条件下では、完全な分岐フィルトレーションが一致することを示す。これは、デリーニのオイラー・ポワンカーレ特性の計算プログラムを進めるものである。

ABSTRACT

We develop a new approach to construction of numerical invariants for ramified coverings of algebraic surfaces of prime characteristic. Let A be a two-dimensional regular local ring of prime characteristic p with algebraically closed residue field. Let L/K be a solvable finite Galois extension of its fraction field. Let C be a germ of a regular curve on the spectrum of A which is not a component of the ramification divisor R. Then L/K determines (up to conjugation) an extension of the function filed of C. This is an extension of discrete valuation fields with algebaically closed residue fields, and we consider ramification jumps of this extension. Varying C, we obtain a collection of data describing the ramification of L/K with respect to C. In the present paper we show that the above mentioned ramification jumps depend only on the jet of C of certain order, and the upper bound for this order depends linearly on the order of tangence of C and R. Strictly speaking, this is done for wild ramification jumps, i.e., for the ramification jumps divided by the order of tame ramification. It would be important to prove a stronger fact: not only the jumps but the whole ramification filtration is the same when C is running over a jet of certain order. This statement (for curves transversal to R) is a step in Deligne's program describing how to compute Euler-Poincare characteristics of constructible etale sheaves on surfaces. In the present version we prove the above fact for some class of Galois groups that includes, in particular, all abelian p-groups.

研究の動機と目的

• 分岐分岐領域と交わる曲線を用いた2次元スキームにおける分岐不変量の体系的理論の構築。
• 表面における曲線の選択に応じて、拡大の分岐ジャンプがどのように変化するかを理解すること。
• 野生的分岐ジャンプが、その曲線の特定の埋め込みに依存せず、点におけるジェット順序にのみ依存することを証明すること。
• 十分に接する曲線に対して、完全な分岐フィルトレーションが保存される条件を確立すること。
• 分岐データを用いた表面上の層のオイラー・ポワンカーレ特性の計算というデリーニのプログラムを支援すること。

提案手法

• 分岐領域 $ R \subset \mathcal{X} $ と交わる曲線 $ C \subset \mathcal{X} $ への制限を通じて分岐を分析し、特に野生的ジャンプに注目する。
• 代数的曲線（パラメータ化されたアーチ）を用いて、$ \mathcal{X} $ 上の特異性とその正規化 $ \mathcal{Y} $ 上への持ち上げを比較する。
• ジェット理論的技法を適用し、分岐不変量がガロア群の関数によって一様に有界された順序のジェットにのみ依存することを示す。
• スワン指標不変量と付値論的道具を用いて、異なる曲線間での分岐フィルトレーションを比較する。
• すべての巡回部分群が正規であるガロア群（例えば、特定の非アーベル $ p $-群）において、曲線が十分高い交点多重度を持つ場合、完全な分岐フィルトレーションが保存されることを証明する。
• 特に命題5.5および6.3を用いて、素数次数の巡回拡大における不変量の比較に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア拡大における曲線に沿った野生的分岐ジャンプは、点における曲線のジェット順序にのみ依存するか？
• RQ2 適切な群論的条件下で、高次に接する曲線に対して、分岐フィルトレーション（ジャンプのみでなく）が保存されるか？
• RQ3 すべての曲線が点を通る場合、分岐不変量が安定化するまでのジェット順序に一様な上限が存在するか？
• RQ4 分岐不変量の系が函手的かつ十分に豊かであり、高次元における既知の不変量を回復できるか？
• RQ5 $ \mathcal{X} $ 上の特異な弧は、被覆 $ \mathcal{Y} $ 上の分岐不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 曲線 $ C $ における拡大 $ L/K $ の野生的分岐ジャンプ、点 $ P \in C \cap R $ において、$ P $ における $ C $ のある有界順序のジェットにのみ依存する。
• 分岐ジャンプが同一になるための、ガロア群に依存する一様なジェット順序の上限が存在する。この上限を超えると、高次接続を持つ曲線の間で分岐ジャンプは同一になる。
• すべての巡回部分群が正規であるガロア群（例えば、特定の非アーベル $ p $-群）において、ある有効除集合 $ R_0 $ と十分に高い交点多重度を持つ曲線に対して、完全な分岐フィルトレーションが保存される。
• 交点多重度 $ (C.C')_P \geq (C.R_0)_P $ である場合、分岐フィルトレーションが保存される。ここで $ R_0 $ は分岐領域に台を持つ有効除集合である。
• 証明は、$ \mathcal{X} $ 上の弧の不変量とその $ \mathcal{Y} $ 上への持ち上げの不変量の比較に依拠しており、特に素数次数の巡回拡大の状況で顕著である。
• この結果は、表面における分岐データを用いたオイラー・ポワンカーレ特性の計算というデリーニのプログラムにおける重要な一歩を確認する。