[論文レビュー] Random almost holomorphic sections of ample line bundles on symplectic manifolds

Bernard Shiffman, Steve Zelditch|ArXiv.org|Jan 19, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ほぼ複素シンプレクティック多様体上の正則線束の高次のベキの、ほぼ正則なランダムな断面が、$N \to \infty$ の際に確率論的意味で漸近的に正則な性質を示すことを確立している。Szegö射影子の漸近挙動と $\bar{\partial}$ 箇算子の微局所解析を用いて、典型的な断面が鋭いノルム評価を満たし、近くの点における値と微分の同時分布が、正則の場合と同一の普遍的なスケーリング極限を持つことを証明している。

ABSTRACT

The spaces $H^0(M, L^N)$ of holomorphic sections of the powers of an ample line bundle $L$ over a compact Kähler manifold $(M,ω)$ have been generalized by Boutet de Monvel and Guillemin to spaces $H^0_J(M, L^N)$ of `almost holomorphic sections' of ample line bundles over an almost complex symplectic manifold $(M, J, ω)$. We consider the unit spheres $SH^0_J(M, L^N)$ in the spaces $H^0_J(M, L^N)$, which we equip with natural inner products. Our purpose is to show that, in a probabilistic sense, almost holomorphic sections behave like holomorphic sections as $N o \infty$. Our first main result is that almost all sequences of sections $s_N \in SH^0_J(M, L^N)$ are `asymptotically holomorphic' in the Donaldson-Auroux sense that $||s_N||_{\infty}/||s_N||_{2} = O(\sqrt{\log N})$, $||\bar{\partial} s_N||_{\infty}/||s_N||_{2} = O(\sqrt{\log N})$ and $||\partial s_N||_{\infty}/||s_N||_{2} = O(\sqrt{N \log N})$. Our second main result concerns the joint probability distribution of the random variables $s_N(z^p),\ abla s_N(z^p)$, $1\le p\le n$, for $n$ distinct points $z^1,..., z^n$ in a neighborhood of a point $P_0\in M$. We show that this joint distribution has a universal scaling limit about $P_0$ as $N o \infty$. In particular, the limit is precisely the same as in the complex holomorphic case. Our methods involve near-diagonal scaling asymptotics of the Szegö projector $Π_N$ onto $H^0_J(M, L^N)$, which also yields proofs of symplectic analogues of the Kodaira embedding theorem and Tian asymptotic isometry theorem.

研究の動機と目的

• ほぼ複素シンプレクティック多様体上のボーテ・ドゥ・モンヴェル＝ギユイユム枠組みにおける、ほぼ正則断面の典型的な確率的挙動を理解すること。
• ランダムな正規化されたほぼ正則断面の列が、ドナルドソンとアウロウスの意味で、$N \to \infty$ の際に漸近的に正則断面と同一視できることを確立すること。
• 有限個の点における値と微分の同時分布が、正則の場合と同一の極限に普遍的にスケーリングされることを証明すること。

提案手法

• ハミルトニアン計量とシンプレクティック体積形式を用いて、空間 $H^0_J(M, L^N)$ に $L^2$ 内積を導入すること。
• ユニット球面 $SH^0_J(M, L^N)$ 上のハール確率測度 $\nu_N$ を用いて、ランダム断面の確率モデルを定義すること。
• Szegö射影子 $\Pi_N$ の近似対角漸近挙動を応用し、ランダム断面の共分散構造を解析すること。
• ジェット写像のヤコビアン $\mathcal{J}_N$ を用いて、$n$ 点における値と一次微分の同時確率密度を導出すること。
• スケーリングされた共分散行列 $\Delta^N(z/\sqrt{N})$ が、ヘイゼンベルク群上のSzegöカーネルによって与えられる普遍的極限 $\Delta^\infty(z)$ に収束することを証明すること。
• 同じ漸近的枠組みを通じて、コダイラ埋め込み定理とティアンの漸近等長定理のシンプレクティック版を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N \to \infty$ の際に、ほぼ複素シンプレクティック多様体上のランダムなほぼ正則断面は、ドナルドソン＝アウロウスの意味で漸近的正則性の評価を満たすか？
• RQ2 $n$ 個の近くの点における、ランダムなほぼ正則断面の値と微分の同時分布は、普遍的であり、特定の多様体や線束に依存しないか？
• RQ3 $N \to \infty$ の際に、ランダム断面のジェットデータの共分散構造の正確なスケーリング極限は何か？
• RQ4 ほぼ正則断面の漸近的挙動から、古典的正則結果（例えばコダイラ埋め込み定理やティアンの等長定理）のシンプレクティック版を導出できるか？
• RQ5 典型的なランダム断面について、$s_N$、$\bar{\partial}s_N$ およびその微分の $L^\infty$ ノルムは $N$ に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• ほとんどすべての $L^2$-正規化されたほぼ正則断面の列について、$N \to \infty$ の際に $\|s_N\|_\infty / \|s_N\|_2 = O(\sqrt{\log N})$ および $\|\bar{\partial}s_N\|_\infty / \|s_N\|_2 = O(\sqrt{\log N})$ が成り立つ。
• $k \geq 1$ に対して、$k$ 階微分について $\|\nabla^k s_N\|_\infty / \|s_N\|_2 = O(N^{k/2} \sqrt{\log N})$ および $\|\nabla^k \bar{\partial}s_N\|_\infty / \|s_N\|_2 = O(N^{k/2} \sqrt{\log N})$ が成り立つ。
• $n$ 点における値と一次微分のスケーリングされた同時分布は、$N \to \infty$ の際に弱収束し、多様体やバンドルの選択に依存しない普遍的極限 $\gamma_{\Delta^\infty(z)}$ に収束する。
• 極限共分散行列 $\Delta^\infty(z)$ は、縮小ヘイゼンベルク群上のSzegöカーネルとその微分によって明示的に与えられ、非正則成分は消える。
• スケーリング極限は、正則の場合の普遍的極限と完全に一致し、局所統計の普遍性を確認する。
• これらの結果は、Szegö射影子の漸近的解析を通じて、コダイラ埋め込み定理とティアンの漸近等長定理のシンプレクティック版が導かれる、と示唆する。