[論文レビュー] Random band matrices in the delocalized phase, III: Averaging fluctuations

Fan Yang, Jun Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$d$次元格子上のランダムバンド行列に対して、mesoscopic band幅 $W$ が $1 \ll W \ll N$ を満たす場合、リゾルベント多項式の平均的フラクチュエーションに対する高確率的バウンドを確立する。このフラクチュエーション平均化結果を用いて、$d \geq 2$ の次元において、$N \leq W^{1 + d/2}$ の条件下でバルク固有ベクトルの拡散性（delocalization）を証明する。これは従来の境界を上回り、バンド行列モデルにおけるバルクユニバーサリティおよび拡散性の証明に重要な一歩を完了する。

ABSTRACT

We consider a general class of symmetric or Hermitian random band matrices $H=(h_{xy})_{x,y \in \llbracket 1,N rbracket^d}$ in any dimension $d\ge 1$, where the entries are independent, centered random variables with variances $s_{xy}=\mathbb E|h_{xy}|^2$. We assume that $s_{xy}$ vanishes if $|x-y|$ exceeds the band width $W$, and we are interested in the mesoscopic scale with $1\ll W\ll N$. Define the {\it{generalized resolvent}} of $H$ as $G(H,Z):=(H - Z)^{-1}$, where $Z$ is a deterministic diagonal matrix with entries $Z_{xx}\in \mathbb C_+$ for all $x$. Then we establish a precise high-probability bound on certain averages of polynomials of the resolvent entries. As an application of this fluctuation averaging result, we give a self-contained proof for the delocalization of random band matrices in dimensions $d\ge 2$. More precisely, for any fixed $d\ge 2$, we prove that the bulk eigenvectors of $H$ are delocalized in certain averaged sense if $N\le W^{1+\frac{d}{2}}$. This improves the corresponding results in \cite{HeMa2018} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{d+1}}$, and in \cite{ErdKno2013,ErdKno2011} under the assumption $N\ll W^{1+\frac{d}{6}}$. For 1D random band matrices, our fluctuation averaging result was used in \cite{PartII,PartI} to prove the delocalization conjecture and bulk universality for random band matrices with $N\ll W^{4/3}$.

研究の動機と目的

• ランダムバンド行列におけるリゾルベント成分の多項式の平均フラクチュエーションに対する精密な高確率的バウンドを確立すること。
• 次元 $d \geq 2$ における拡散領域における固有ベクトルの拡散性の自己完結的証明を提供すること。
• 既存の結果 [ErdKno2013], [ErdKno2011], および [HeMa2018] よりも良好な境界を改善すること。
• 1次元ランダムバンド行列における拡散性の予想とバルクユニバーサリティの証明を、$N \ll W^{4/3}$ の下で完了すること。これは [PartI] および [PartII] の先行研究に基づく。

提案手法

• 距離 $|x - y|$ に従って減少する分散プロファイル $s_{xy} = \mathbb{E}|h_{xy}|^2$ を持つ対称的またはヘルミート型ランダムバンド行列に対して、一般化されたリゾルベント $G(H,Z) = (H - Z)^{-1}$ を分析する。
• リゾルベント積を色付きおよび色なしグラフに分解する図式的展開法を適用し、依存関係と誤差項を追跡する。
• 条件付き期待値 $\mathbb{E}_x$ および $Q_x$ を用いた再帰的分解により、リゾルベント成分のフラクチュエーションを制御する。
• リゾルベントの差 $\dot{G}_{xy}\ddot{G}_{xy'} - Q_x(\dot{G}_{xy}\ddot{G}_{xy'})$ を $\prec N^{-D}$ の誤差まで有界化する、新規のフラクチュエーション平均化機構を用いる。
• 色なしグラフ $\mathcal{G}_\kappa$ の形で表現され、重みとサポートが制御された項の寄与を表す詳細な図式的計算を用いる。
• すべての関連するグラフが、重みとサポートが制御された色なしグラフ $\mathcal{G}_\kappa$ として表現可能であることを確立し、必要な減衰性および構造的条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mesoscopic band幅 $W$ を持つ $d$ 次元ランダムバンド行列における固有ベクトルの拡散性の鋭い閾値は何か？
• RQ2 非 i.i.d. 分散プロファイルおよび長距離相関が存在する状況下で、リゾルベント多項式のフラクチュエーションをどのように制御できるか？
• RQ3 フラクチュエーション平均化機構を厳密に適用することで、従来の研究よりも弱い仮定の下で拡散性の結果を得られるか？
• RQ4 $d \geq 2$ の次元において、拡散性を保証する $W$ の最適スケーリングは $N$ に対してどのように相対的に変化するか？
• RQ5 リゾルベント展開の図式的手法は、拡散性およびユニバーサリティの自己完結的証明をどのように可能にするか？

主な発見

• リゾルベント多項式の平均フラクチュエーションに対する高確率的バウンドが確立され、任意の $D > 0$ に対して $\prec N^{-D}$ の誤差まで有効である。
• $d \geq 2$ の場合、$N \leq W^{1 + d/2}$ の条件下でバルク固有ベクトルが平均的意味で拡散していることが示された。これは従来の境界を改善する。
• この結果は [HeMa2018]（$N \ll W^{1 + d/(d+1)}$ を要件としていた）および [ErdKno2013, ErdKno2011]（$N \ll W^{1 + d/6}$ を要件としていた）を上回る。
• フラクチュエーション平均化機構を厳密に適用することで、$N \ll W^{4/3}$ の下で1次元バンド行列における長年の拡散性予想が解決され、シリーズ全体の証明が完了した。
• リゾルベント項の図式的表現により、複雑なフラクチュエーションを制御された減衰性とサポートを持つ管理可能な成分に体系的に分解できる。
• 証明により、すべての関連する誤差項が、重みが $O((W^{-d})^{\#\text{ of }\alpha\text{ atoms}})$ のように減少する色なしグラフ $\mathcal{G}_\kappa$ の和として表現可能であることが示された。これにより、可積分性と減衰性が保証される。