[論文レビュー] Random cascade model in the limit of infinite integral scale as the exponential of a non-stationary $1/f$ noise. Application to volatility fluctuations in stock markets

Jean–François Muzy, Rachel Baïle+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Jan 17, 2013

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非定常な$1/f$ノイズ過程の指数関数として得られるボラティリティのフラクチュエーションを想定する非定常な確率的ボラティリティモデルを提案する。これは、無限大の積分スケールの極限において連続的ランダムカスケードを効果的に模倣する。このモデルは、実証的IGARCH効果および推定された積分スケールが標本長に強く依存する現象を、有限のカスケード開始スケールではなく、本質的な非定常性に起因すると説明する。

ABSTRACT

In this paper we propose a new model for volatility fluctuations in financial time series. This model relies on a non-stationary gaussian process that exhibits aging behavior. It turns out that its properties, over any finite time interval, are very close to continuous cascade models. These latter models are indeed well known to reproduce faithfully the main stylized facts of financial time series. However, it involve a large scale parameter (the so-called "integral scale" where the cascade is initiated) that is hard to interpret in finance. Moreover the empirical value of the integral scale is in general deeply correlated to the overall length of the sample. This feature is precisely predicted by our model that turns out, as illustrated on various examples from daily stock index data, to quantitatively reproduce the empirical observations.

研究の動機と目的

• 連続的ランダムカスケードモデルを金融ボラティリティに適用する際の積分スケールの定義に生じる曖昧性を解消すること。
• 金融時系列における推定された積分スケールが標本長に強く相関する理由を説明すること。
• 有限で物理的に解釈可能な積分スケールを仮定せずに、ボラティリティの持続性およびマルチフラクタルスケーリングをモデル化すること。
• ボラティリティの非定常性が有限時間区間においてマルチフラクタルカスケードの統計的性質を再現できることを示すこと。
• 長距離ボラティリティ相関およびIGARCH効果を捉えることができる、理論的根拠に基づいた連続時間的GARCHモデルの代替案を提供すること。

提案手法

• ボラティリティ過程を、$1/f$型の長距離相関を示す非定常ガウス過程の指数関数として構築する。
• 無限に可除な確率測度および連続的ランダムカスケード（例：MRWモデル）の枠組みを、積分スケールが無限大に近づく極限で用いる。
• 測度$M_{\tau}(t)$の段階的積み重ねによるプロセスの定義を行い、スケール$\tau \to 0$における平均二乗収束を証明する。
• 長距離相関をモデル化するため、共分散構造$\mathbb{E}[\omega_\ell(u)\omega_\ell(v)] = \lambda^2 \ln(\max(u,v)/|u-v|)$を用いる。
• モーメントスケーリング挙動$\mathbb{E}[|\delta_\tau X(t)|^q] \sim C_q \tau^{\zeta(q)}$を導出し、$\zeta(q)$が下に凸であることを示し、$T \to \infty$でない限りスケーリング範囲が有限であることを示す。
• 実証的推定による大きさ共分散を用いてモデルを検証し、理論的形$\lambda^2 \ln(T/\tau)$と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 金融ボラティリティモデルにおける推定された積分スケールが、観測ウィンドウ長に強く相関する理由は何か？
• RQ2 非定常な$1/f$型相関を持つプロセスは、金融リターンに観察されるマルチフラクタルスケーリングおよびボラティリティクラスタリングを再現できるか？
• RQ3 ボラティリティを非定常プロセスとしてモデル化することで、連続的ランダムカスケードモデルにおける有限な積分スケールの必要性を排除できるか？
• RQ4 無限大の積分スケールの極限が、ボラティリティ増分のスケーリング挙動に与える影響は何か？
• RQ5 非定常$1/f$ノイズプロセスは、長距離相関およびIGARCH効果を含む、金融ボラティリティの実証的性質をどの程度再現できるか？

主な発見

• 本モデルのボラティリティ過程は、非定常な$1/f$ノイズの指数関数として定義され、任意の有限時間区間において連続的ランダムカスケードの統計的性質を再現する。
• 推定された積分スケールが標本長に依存する実証的依存性は、物理的カスケード開始スケールではなく、非定常性に起因するものであると説明できる。
• 本モデルでは、スケーリング挙動$\mathbb{E}[|\delta_\tau X(t)|^q] \sim C_q \tau^{\zeta(q)}$が、積分スケール$T \to \infty$でない限り、有限のスケール範囲でのみ成立することを予測する。
• ボラティリティ過程の大きさ共分散は理論的形$\lambda^2 \ln(T/\tau)$と一致し、実証的推定によってこの関係が確認された。
• 本モデルの平均二乗収束は、$\ell \to 0$における$M_\ell(t)$の極限を用いて厳密に証明されており、数学的整合性が保証される。
• 本モデルは、パrameterの不安定性を伴わずに、長距離ボラティリティ相関およびIGARCH効果を自然に捉えることができる、洗練された連続時間的GARCHモデルの代替案を提供する。