[論文レビュー] Random ideal triangulations and the Weil-Petersson distance between finite degree covers of punctured Riemann surfaces

Jeremy Kahn, Vladimir Marković|ArXiv.org|Jun 13, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、任意の2つの少なくとも1つの穴あきを持つ有限型の双曲的リーマン面と、任意のε > 0に対して、それぞれの曲面の有限次被覆がクライス・同相的であり、Weil-Petersson距離がε未満であることを証明している。この構成は、小さなシアー座標を持つランダムな理想三角形分割に依存し、被覆の次数は1/εの多項式関数として得られる。Weil-Petersson計量の正規化により、被覆写像による等長埋め込みが保証される。

ABSTRACT

We prove that any two finite-area non-compact hyperbolic Riemann surfaces S and T have finite covers that are arbitrarily close in the normalized Weil-Petersson metric, where we normalize by dividing the square of the metric by the area of the surface. In the case where T is the modular surface this reduces to showing that S has a finite cover with a proper ideal triangulation where most of the shear coordinates are small; we will construct such a cover out of a random collection of immersed ideal triangles in S.

研究の動機と目的

• Weil-Petersson計量を用いた穴あきリーマン面におけるEhrenpreis予想の変種を解決すること。
• 与えられた2つの穴あき双曲的曲面の明示的な有限次非分岐被覆を構成し、それらがクライス・同相的であり、Weil-Petersson計量で近接することを示すこと。
• このような被覆間のWeil-Petersson距離が、1/εの多項式関数としての被覆次数を用いて、任意に小さく（ε未満）できるようにすること。
• Weil-Petersson計量の正規化が、被覆写像の下で等長性を保つことの証明を行い、被覆間での距離の比較を意味的に可能にすること。

提案手法

• S(r) → S および R(r) → R という有限次被覆を構成し、それらが小さなシアー座標を持つ理想三角形分割を備えていることを保証する。
• ランダムな理想三角形分割を用いて、シアー座標が確率的に小さくなるように保証し、すべてのシアーがゼロのモジュラー曲面に近似する。
• すべてのシアーがゼロのモジュラー曲面が、双曲的面積の平方根による正規化の下でWeil-Petersson計量において等長埋め込みされることを利用する。
• Weil-Petersson計量を √(2π(2g−2+n)) で割ることで正規化し、被覆写像がこの計量に関して等長となるようにする。
• 単位接 bundle の構造と測地線流れの力学を用いて、測地線の方向が長時間にわたり厚み領域にとどまる領域の測度を推定する。
• Fubiniの定理を適用し、Poincaré級数およびシアー寄与量の推定を用いて、全Weil-Peterssonエネルギーを抑え、被覆間の距離を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のε > 0に対して、2つの穴あき双曲的曲面の有限次非分岐被覆を構成し、それらのWeil-Petersson距離がε未満となるようにできるか？
• RQ2 正規化されたWeil-Petersson計量は、被覆写像が等長性を保つようにするか？ これにより、被覆間での距離の比較が可能になるか？
• RQ3 ランダムな理想三角形分割を用いて、小さなシアー座標を持つ被覆を構成し、モジュラー曲面に近似できるか？
• RQ4 必要な被覆の次数は、1/εの多項式関数として得られ、初期の曲面SとRに依存しないか？

主な発見

• 任意のε > 0に対して、S_ε → S および R_ε → R という有限次非分岐被覆が存在し、S_εとR_ε間のWeil-Petersson距離がε未満である。
• 構成により、被覆はクライス・同相的であることが保証され、同じ genus と穴の数を持つ。
• 被覆の次数は1/εの多項式関数であり、多項式の次数は初期の曲面SとRに依存しない。
• Weil-Petersson計量を √(2π(2g−2+n)) で正規化することで、被覆写像が等長となることが保証され、一貫した距離比較が可能になる。
• 証明は、小さなシアー座標を持つ理想三角形分割を備えた被覆の構成に依拠しており、それらがWeil-Petersson計量においてモジュラー曲面（すべてのシアーがゼロ）に近いことが示された。
• 測地線の方向のうち、長時間にわたり厚み領域にとどまるものの測度は指数関数的に減少し、これがモジュライ空間におけるエネルギーと距離の制御に用いられる。