[論文レビュー] Random iteration with place dependent probabilities

Rafał Kapica, Maciej Ślęczka|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ポーランド空間上での関数の確率的反復と場所依存遷移確率を伴うマーカフ連鎖に対して、一意の不変測度への指数的収束を確立する。著者らは、状態に依存する分布を考慮する新しいカップリング手法を用いて、幾何的エルゴード性を証明し、ℝᵈ 上の確率的アフィン変換にその枠組みを適用する。これにより、一意的かつ指数的に吸引的な不変分布を有する、『場所依存確率を伴う永続的確率的変数』の新クラスを導入する。

ABSTRACT

Markov chains arising from random iteration of functions $S_θ:X o X$, $θ\in Θ$, where $X$ is a Polish space and $Θ$ is arbitrary set of indices are considerd. At $x\in X$, $θ$ is sampled from distribution $θ_x$ on $Θ$ and $θ_x$ are different for different $x$. Exponential convergence to a unique invariant measure is proved. This result is applied to case of random affine transformations on ${\mathbb R}^d$ giving existence of exponentially attractive perpetuities with place dependent probabilities.

研究の動機と目的

• ポーランド空間上での場所依存遷移確率を伴うマーカフ連鎖に対して、一意の不変測度への指数的収束を確立すること。
• 確率的再帰方程式および永続的確率的変数の理論を、遷移分布が現在の状態に依存する場合にまで拡張すること。
• 状態に依存する確率から生じる互いに特異な遷移核を扱えるカップリングに基づく手法の開発。
• 一般の状態依存確率的反復の設定において、幾何的エルゴード性を保証する十分条件の特定。
• 古典的な永続的確率的変数の結果を、ランダム係数の分布が現在の状態に依存する場合にまで一般化すること。

提案手法

• 著者らは、異なる初期点から出発する軌道の依存性を誘導するために、X×X 上の結合マルコフ連鎖を構築する漸近的カップリング法を採用する。
• 結合連鎖の遷移核を、収縮部分 Qₓ,ᵧ と残差部分 Rₓ,ᵧ に分解し、ある α∈(0,1) に対して ∫d(u,v)Qₓ,ᵧ(du,dv) ≤ αd(x,y) が成り立つようにする。
• この手法は、α<1 の一様収縮率と、すべての x,y∈ℝᵈ に対して遷移測度 μₓ∧μᵧ に一様な下界が存在することに依存する。
• 収束の定量的評価には、Fortet-Mourier 距離と Wasserstein 距離を用い、それぞれ *-弱位相および全 Variation での収束を測定する。
• 分布が現在の状態 x に依存する形での、x↦M(θ)x+Q(θ) の確率的アフィン変換にこの枠組みを適用する。
• x↦μₓ の全 Variation 範囲における Hölder 継続性と、μₓ∧μᵧ に対する一様な下界が、主な技術的条件である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場所依存遷移確率を伴うマーカフ連鎖に対して、一意の不変測度への指数的収束を確立できるか？
• RQ2 カップリング法は、近接する状態において互いに特異な遷移核を扱えるようにどのように適合できるか？
• RQ3 状態依存係数を伴う確率的アフィン変換に対して、一意的かつ指数的に吸引的な不変測度が存在するための条件は何か？
• RQ4 遷移確率が現在の状態に依存する場合、永続的確率的変数の概念はどのように一般化されるか？
• RQ5 状態依存ダイナミクス下で、収束速度は全 Variation および Fortet-Mourier 範囲でどのように定量的に表現できるか？

主な発見

• ポーランド空間上での関数の場所依存確率的反復によって生成されるマーカフ連鎖 (Xₙ)ₙ∈ℕ₀ は、一意の不変測度 μ* を有する。
• μ* への指数的収束は Fortet-Mourier 位相で成立：ある q∈(0,1) と C>0 に対して、‖P*ⁿμ − μ*‖_FM ≤ qⁿC(1 + ∫|x|μ(dx)) が成り立つ。
• ℝᵈ 上の確率的アフィン変換に対して、不変測度 μ* は ℳ₁¹(ℝᵈ) に属する。これは、μ* が有限の1階モーメントを持つことを意味する。
• 十分条件として、supₓ∫||m||dμₓ(m,q) < 1、supₓ∫|q|dμₓ(m,q) < ∞、および x↦μₓ の全 Variation 範囲における Hölder 継続性が挙げられる。
• すべての x,y∈ℝᵈ に対して、μₓ∧μᵧ({(m,q):||m||≤α}) に一様な下界 δ>0 が存在すれば、カップリング機構が機能することが保証される。
• この結果は、係数 (M,Q) の分布が現在の状態 x に依存することを許容することで、古典的永続的確率的変数理論を一般化する。