[論文レビュー] Random perturbations of diffeomorphisms with dominated splitting

José F. Alves, Vı́tor Araújo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、歪みのない分割を有する微分同相写像の確率的摂動が有限個の定常測度を持つことを確立し、その統計的挙動を特徴づけている。非一様双曲的系における確率的安定性の必要十分条件を提示し、Alves, Bonatti, Viana が以前に研究した C²-開な非一様双曲的系のクラスが確率的安定であることを証明するとともに、SRB 測度とゼロノイズ極限を結びつけている。

ABSTRACT

We prove that the statistical properties of random perturbations of a nonuniformly hyperbolic diffeomorphism are described by a finite number of stationary measures. We also give necessary and sufficient conditions for the stochastic stability of such dynamical systems. We show that a certain C²-open class of nonuniformly hyperbolic diffeomorphisms introduced in [Alves, J; Bonatti, C. and Viana, V., SRB measures for partially hyperbolic systems with mostly expanding central direction, Invent. Math., 140 (2000), 351-398] are stochastically stable. Our setting encompasses that of partially hyperbolic diffeomorphisms as well as uniformly hyperbolic diffeomorphisms. Moreover, the techniques used enable us to obtain SRB measures in this setting through zero-noise limit measures.

研究の動機と目的

• 歪みのない分割を有する系における確率的摂動の統計的性質を特徴づける。
• 非一様双曲的微分同相写像における確率的安定性の必要十分条件を確立する。
• Alves, Bonatti, Viana が導入した C²-開な非一様双曲的系のクラス（中心方向が主に拡張的）が確率的安定であることを示す。
• この力学的設定において、ゼロノイズ極限測度と SRB 測度を結びつける。

提案手法

• 定常測度の枠組みを用いて、確率的摂動の長期的統計的挙動を分析する。
• 非一様双曲性および歪みのない分割の技術を適用し、リャプノフ指数と不変多様体を制御する。
• 確率的力学系の理論を用いて、摂動系が不変測度に収束する条件を導出する。
• 消えるノイズにおける定常測度の収束を通じて、確率的安定性を確立する。
• ゼロノイズ極限における物理的測度（SRB 測度）の有限性に依存する。
• Alves, Bonatti, Viana (2000) の、中心方向が主に拡張的な部分的双曲的系における SRB 測度に関する結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的摂動は、歪みのない分割を有する微分同相写像の統計的性質にどのように影響するか？
• RQ2 非一様双曲的系に歪みのない分割を有する場合、どのような条件下で確率的安定性が保証されるか？
• RQ3 Alves, Bonatti, Viana が導入した C²-開な非一様双曲的微分同相写像のクラスは、確率的安定であるか？
• RQ4 このクラスにおける SRB 測度は、ゼロノイズ極限測度として回復可能か？
• RQ5 歪みのない分割は、確率的摂動下での定常測度の有限性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 歪みのない分割を有する微分同相写像の確率的摂動は、有限個の定常測度しか持たず、これにより長期的統計的挙動が特徴づけられる。
• 確率的安定性の必要十分条件が導出され、定常測度の元の系への収束と結びつけられている。
• 中心方向が主に拡張的な C²-開な非一様双曲的微分同相写像のクラスが、確率的安定であることが証明された。
• このクラスの系における SRB 測度は、ゼロノイズ極限測度として得られ、物理的測度の力学的構成が可能である。
• 結果は一様双曲的および部分的双曲的系へも拡張され、ノイズ下での統計的性質の統一的取り扱いが可能になった。
• 歪みのない分割構造により、微小な確率的摂動に対しても統計的性質のロバスト性が保証される。