[논문 리뷰] Random polymers via orthogonal Whittaker and symplectic Schur functions

Elia Bisi|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|2018. 10. 08.

Random Matrices and Applications참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 학위논문은 KPZ 보편성류에 속하는 적분가능한 확률 모델—특히 로그-감마 고무줄 및 최종 통과 퍼콜레이션—과 특수함수 사이의 정확한 연결고리를 설정한다. 고무줄 모델의 경우 온전한 월리터 함수를, 최종 통과 퍼콜레이션의 경우 심플렉틱 슈어 함수를 사용한다. 기하학적 RSK 대응을 통해 분할 함수의 라플라스 변환을 월리터 함수로 유도하며, 척도 한계에서는 GOE 트레이시-위드먼 및 에일리₂→₁ 분포를 얻는다.

ABSTRACT

This thesis deals with some $(1+1)$-dimensional lattice path models from the KPZ universality class: the directed random polymer with inverse-gamma weights (known as log-gamma polymer) and its zero temperature degeneration, i.e. the last passage percolation model, with geometric or exponential waiting times. We consider three path geometries: point-to-line, point-to-half-line, and point-to-line with paths restricted to stay in a half-plane. Through exact formulas, we establish new connections between integrable probabilistic models and the ubiquitous Whittaker and Schur functions. More in detail, via the use of A. N. Kirillov's geometric Robinson-Schensted-Knuth (RSK) correspondence, we compute the Laplace transform of the polymer partition functions in the above geometries in terms of orthogonal Whittaker functions. In the case of the first two geometries we also provide multiple contour integral formulas. For the corresponding last passage percolation problems, we obtain new formulas in terms of symplectic Schur functions, both directly via RSK on polygonal arrays and via zero temperature limit from the log-gamma polymer formulas. As scaling limits of the point-to-line and point-to-half-line models with exponential waiting times, we derive Sasamoto's Fredholm determinant formula for the GOE Tracy-Widom distribution, as well as the one-point marginal distribution of the ${ m Airy}_{2 o1}$ process.

연구 동기 및 목표

• 점에서 선, 점에서 반직선, 제한된 고무줄 모델과 온전한 월리터 함수 및 심플렉틱 슈어 함수 사이의 정확한 공식을 설정하기 위해.
• 기하학적 RSK 대응과 월리터 함수를 사용하여 고무줄 분할 함수의 라플라스 변환을 도출하기 위해.
• 점에서 선 및 점에서 반직선 기하학에서의 분할 함수에 대한 새로운 다중 윤곽 적분 표현을 얻기 위해.
• 지수적 최종 통과 퍼콜레이션 모델의 척도 한계에서 GOE 트레이시-위드먼 및 에일리₂→₁ 과정 분포를 도출하기 위해.
• KPZ 클래스의 확률 모델을 월리터 함수 및 슈어 함수와 같은 표현 이론적 대상들과 통합하기 위해.

제안 방법

• 고무줄 경로 구성과 Gelfand-Tsetlin 패턴 및 월리터 함수 사이의 기하학적 RSK 대응을 활용하여.
• frak{gl}_n 및 frak{so}_{2n+1}-월리터 함수의 재귀적 적분 표현을 사용하여 분할 함수의 라플라스 변환을 도출하여.
• 월리터 함수의 윤곽 적분 공식을 적용하여 점에서 선 및 점에서 반직선 기하학에서의 분할 함수를 표현하여.
• 로그-감마 고무줄 모델의 영온도 근사에서 최종 통과 퍼콜레이션 모델을 도출하고, 이들의 분할 함수가 심플렉틱 슈어 함수로 표현됨을 보여주기 위해.
• 프레드홀름 행렬식의 최강내림 분석을 수행하여 척도 한계에서의 점근적 분포를 추출하기 위해.
• Ishii-Stade 매개변수화와 적분 항등식을 사용하여 월리터 함수를 멜린-바른스 적분을 통해 특수함수와 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점에서 선 및 점에서 반직선 고무줄 모델에서 분할 함수의 라플라스 변환은 온전한 월리터 함수로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 이 고무줄 기하학에서의 분할 함수에 대한 다중 윤곽 적분 표현은 무엇인가?
• RQ3 로그-감마 고무줄 모델의 영온도 근사에서 심플렉틱 슈어 함수는 어떻게 유도되는가?
• RQ4 지수적 최종 통과 퍼콜레이션 모델의 어떤 척도 한계가 GOE 트레이시-위드먼 및 에일리₂→₁ 분포를 유도하는가?
• RQ5 표현 이론적 맥락에서 frak{so}_{2n+1}-월리터 함수와 심플렉틱 슈어 함수 사이의 정확한 연결고리는 무엇인가?

주요 결과

• 기하학적 RSK 대응을 통해 점에서 선 고무줄 분할 함수의 라플라스 변환은 온전한 월리터 함수로 주어진다.
• 월리터 함수의 적분 표현을 활용하여 점에서 선 및 점에서 반직선 기하학에서의 분할 함수에 대한 다중 윤곽 적분 공식이 도출된다.
• 로그-감마 고무줄 모델의 영온도 근사는 분할 함수가 심플렉틱 슈어 함수로 표현되는 최종 통과 퍼콜레이션 모델을 유도한다.
• 점에서 선 지수 최종 통과 퍼콜레이션 모델의 척도 한계는 GOE 트레이시-위드먼 분포의 프레드홀름 행렬식 공식을 복원한다.
• 점에서 반직선 지수 모델의 척도 한계는 에일리₂→₁ 과정의 한점 마진널 분포를 유도한다.
• frak{gl}_n 및 frak{so}_{2n+1}-월리터 함수를 포함하는 적분 항등식이 증명되었으며, 이는 s=0으로 설정할 경우 기존의 항등식으로 축소된다.