[論文レビュー] Random polynomials and expected complexity of bisection methods for real solving

Ioannis Z. Emiris, André Galligo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、独立同分布のガウス係数をもつランダム多項式に対する正確な実根隔離アルゴリズムの期待計算量を分析している。特にシュールト法を対象として、カックおよびエデルマン＝コスランの根分布に関する結果を活用し、期待ビット計算量が $\widetilde{\mathcal{O}}_B(rd^2\tau)$ であることを導出している。ここで $r$ は実根の個数、$\tau$ は係数のビットサイズを表す。この結果は、ランダム多項式が通常、少数で互いに明確に分離された実根を持つことから、理論的最悪ケースの境界よりも著しく優れた実用的性能を示す理由を説明している。

ABSTRACT

Our probabilistic analysis sheds light to the following questions: Why do random polynomials seem to have few, and well separated real roots, on the average? Why do exact algorithms for real root isolation may perform comparatively well or even better than numerical ones? We exploit results by Kac, and by Edelman and Kostlan in order to estimate the real root separation of degree $d$ polynomials with i.i.d.\ coefficients that follow two zero-mean normal distributions: for SO(2) polynomials, the $i$-th coefficient has variance ${d \choose i}$, whereas for Weyl polynomials its variance is ${1/i!}$. By applying results from statistical physics, we obtain the expected (bit) complexity of \func{sturm} solver, $\sOB(r d^2 τ)$, where $r$ is the number of real roots and $τ$ the maximum coefficient bitsize. Our bounds are two orders of magnitude tighter than the record worst case ones. We also derive an output-sensitive bound in the worst case. The second part of the paper shows that the expected number of real roots of a degree $d$ polynomial in the Bernstein basis is $\sqrt{2d}\pm\OO(1)$, when the coefficients are i.i.d.\ variables with moderate standard deviation. Our paper concludes with experimental results which corroborate our analysis.

研究の動機と目的

• 正確な実根隔離アルゴリズム（シュールト法など）が理論的最悪ケースの境界よりも著しく優れた実用的性能を示す理由を説明すること。
• 独立同分布のガウス係数をもつランダム多項式における実根の分離の統計的挙動を分析すること。
• 多項式係数の確率的仮定の下でシュールト法のタイトな期待計算量境界を導出すること。
• シュールト法に加え、デカルト法やベルンシュタイン基底に基づく手法など他の正確なソルバーに対しても知見を拡張すること。
• 根の分布とアルゴリズムの性能に関する理論的予測を、ランダム多項式の実験的評価で検証すること。

提案手法

• 独立同分布のガウス係数をもつランダム多項式における実根の期待個数と分布に関するカックおよびエデルマン＝コスランの結果を活用する。
• 2種類の係数分布を分析する：分散が $\binom{d}{i}$ の SO(2) 多項式と、分散が $1/i!$ のワイエル多項式。
• 統計物理学の手法を用いて根の分離を推定し、期待ビット計算量の境界を導出する。
• シュールト法の期待計算量 $\widetilde{\mathcal{O}}_B(rd^2\tau)$ を導出する。ここで $r$ は実根の個数、$\tau$ は係数のビットサイズを表す。
• ベルンシュタイン基底変換を用いて根の分布を分析し、$(0,1)$ 内の根の $\arccos(2t_i - 1)$ が $(0,\pi)$ 上で一様分布に従うことを示す。
• ランダム多項式に対する実験を実施し、区間内の根の個数と分布に関する理論的予測を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜランダム多項式は通常、少数で明確に分離された実根を持つのか。その結果、根隔離が効率的になるのか。
• RQ2 独立同分布のガウス係数をもつランダム多項式に対するシュールト法の期待ビット計算量は何か。
• RQ3 ベルンシュタイン基底における根の分布は一様分布とどの程度類似しているか。この性質がアルゴリズムの計算量に与える影響は何か。
• RQ4 確率的仮定の下で、正確なソルバーの期待計算量は最悪ケースの境界よりも著しくタイトにできるか。
• RQ5 ランダム多項式における根の分離の統計的性質は、正確なアルゴリズムの実用的効率をどのように説明できるか。

主な発見

• SO(2) 多項式の実根の期待個数は $\sqrt{d}$ であり、ワイエル多項式では $\frac{2}{\pi}\sqrt{d} + \mathcal{O}(1)$ である。
• ランダム多項式におけるシュールト法の期待ビット計算量は $\widetilde{\mathcal{O}}_B(rd^2\tau)$ であり、最悪ケースの境界よりも2桁以上タイトである。
• ベルンシュタイン基底変換下での $(0,1)$ 内の実根の分布は $\arccos(2t_i - 1) \sim \text{Uniform}(0,\pi)$ を満たし、確率プロットで裏付けられた。
• 実験的結果から、実根の約 $3/4$ が正であり、$1/2$ が $(0,1)$ 内に、$1/4$ が $(1,\infty)$ 内に存在することが判明した。
• ベルンシュタイン基底における実根の個数は $\sqrt{2d} \pm \mathcal{O}(1)$ であり、理論的予測と整合的である。
• 本分析により、正確なソルバーの実用的効率が説明された：少数で明確に分離された実根は、分割の高速化と評価コストの低減をもたらす。