[論文レビュー] Random spanning forests, Markov matrix spectra and well distributed points

Luca Avena, Alexandre Gaudillière|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2013

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限状態空間の均等に分布する部分集合をサンプリングする問題を解決するため、ランダムなスパニングフォレスト測度を導入する。この測度により、部分集合への平均 hitting 時間が初期状態に依存しないことが保証される。ウィルソンのアルゴリズムと無限小生成子のスペクトル的性質を活用することで、均一な平均 hitting 時間を保証する確率的構成が得られ、バートンとペマントルの転送電流定理が非可逆マルコフ連鎖へと拡張される。

ABSTRACT

This paper is a variation on the uniform spanning tree theme. We use random spanning forests to solve the following problem: for a Markov process on a finite set of size $n$, find a probability law on the subsets of any given size $m \\leq n$ with the property that the mean hitting time of such a random target does not depend on the starting point of the random walk. We then explore the connection between random spanning forests and infinitesimal generator spectrum. In particular we give an almost probabilistic proof of an algebraic result due to Micchelli and Willoughby and used by Fill and Miclo to study the convergence to equilibrium of reversible Markov chains. We finally introduce some related fragmentation and coalescence processes, emphasizing algorithmic aspects, and give an extension of Burton and Pemantle transfer current theorem to the non reversible case.

研究の動機と目的

• 有限状態空間のランダムな部分集合をサンプリングする問題に取り組み、その部分集合への平均 hitting 時間がすべての初期状態に対して不変となるようにすること。
• パラメータ q を用いて根の数（つまり、部分集合のサイズ）を制御できるように、均一スパニングツリー枠組みをランダムなスパニングフォレストへと一般化すること。
• マルコフ過程の無限小生成子の固有値とランダムなスパニングフォレストにおける根の分布との間の関係を確立すること。
• バートンとペマントルの転送電流定理を、確率的アプローチを用いて非可逆マルコフ連鎖へと拡張すること。
• ウィルソンのアルゴリズムに基づくアルゴリズム的手法を提供し、部分集合サイズへの明示的条件付けなしに、このようなランダムフォレストを効率的にサンプリングできること。

提案手法

• エッジの重みと根の数の q 乗との積に比例する重みを用いて、根付きフォレスト上の重み付き測度を定義し、根の数をパラメータ q で制御する。
• 分割関数 Z(q) を用いて測度を正規化し、フォレスト上の確率測度 ν_q を得る。この測度は根の集合を介してランダムな部分集合を誘導する。
• ウィルソンのアルゴリズムとプロップ＝ウィルソンの「過去からのカップリング」を用いて、根の数への条件付けなしに ν_q から効率的にサンプリングする。
• ミッキェリとウィラホーイの代数的結果をほぼ確率論的に再導出することで、スペクトル的関係を確立する。この結果は、生成子の固有値とフォレスト測度との関係を示す。
• 修正された生成子の行列式を用いて、有向エッジ集合がランダムフォレストに属する確率を計算することで、非可逆連鎖に対する一般化された転送電流定理を導出する。
• グリーン関数 G_Q と有効抵抗の行列 K_Q^+ を用いて、エッジのフォレスト内包含確率をブロック行列の行列式として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限マルコフ連鎖において、サイズ m ≤ n の部分集合に対して、その部分集合への平均 hitting 時間が初期状態に依存しない確率法則を構築できるか？
• RQ2 マルコフ過程の無限小生成子のスペクトルとランダムなスパニングフォレストにおける根の分布との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 バートンとペマントルの転送電流定理は、可逆から非可逆マルコフ連鎖へと拡張可能か？
• RQ4 指定された近似根数を持つランダムフォレストを効率的にサンプリングするためのアルゴリズム的手法は何か？
• RQ5 スパニングフォレストに基づく確率的構成を用いて、ランダム部分集合への平均 hitting 時間をすべての初期状態に対して正確に均一にできるか？

主な発見

• ν_q 測度からサンプリングされたランダムなスパニングフォレストの根からなるランダム部分集合は、その部分集合への平均 hitting 時間が初期状態に依存しないという性質を持つ。これにより、均等に分布する点の問題が解決される。
• 与えられた m に対して、生成子の固有値が実数であるとき、ν_q 分布フォレストにおける根の数は m のまわりに集中し、振動幅は √m のオーダーとなる。
• ミッキェリとウィラホーイの結果について、生成子からランク1の摂動を加えた行列式がフォレスト測度の分割関数と関係することを、ほぼ確率論的な証明で示した。
• 非可逆連鎖に対する一般化された転送電流定理は、有向エッジ集合がランダムフォレストに属する確率を、グリーン関数と有効抵抗を含む行列の行列式として表現する。
• k 個の有向エッジ集合がフォレストに含まれる確率は、det(M - N) で与えられ、ここで M と N は有効抵抗カーネル K_Q^+ から導かれる行列である。
• この手法により、ウィルソンのアルゴリズムを用いて、根の数を指定したままの正確なフォレストサンプリングが可能となり、リジェクトや条件付けを回避できる。