[논문 리뷰] Random walk with heavy tail and negative drift conditioned by its minimum and final values

Vincent Bansaye, Vladimir Vatutin|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최소값과 최종값으로 제약된 무거운 尾를 지닌 증분과 음의 기울기를 가진 조건부 랜덤 워크를 연구한다. 경로가 일반적으로 크기 $an + O(\sqrt{n})$의 단일 큰 초기 점프를 가지며, 점프 시간은 명시적인 정적 분포를 따르고, 점프 이전 및 이후 세그먼트는 각각 조건부 랜덤 워크와 그 시간 역전된 쌍대형태로 행동함을 보여주는 분해 정리가 수립된다.

ABSTRACT

We consider random walks with finite second moment which drifts to $-\infty$ and have heavy tail. We focus on the events when the minimum and the final value of this walk belong to some compact set. We first specify the associated probability. Then, conditionally on such an event, we finely describe the trajectory of the random walk. It yields a decomposition theorem with respect to a random time giving a big jump whose distribution can be described explicitly.

연구 동기 및 목표

• 무거운 꼬리, 음의 기울기를 가진 랜덤 워크가 $n$ 단계 동안 수준 $-x$ 위에 머무르고 $T$ 이하로 끝나는 사건의 점 渐차적 확률을 분석하기 위해.
• 최소값 $L_n \geq -x$와 최종값 $S_n \leq T$로 조건화된 조건부 워크의 일반적인 궤적을 기술하기 위해.
• 조건화된 경로를 세 구성요소로 분해하기 위해: 점프 이전 세그먼트, 큰 초기 점프, 점프 이후 세그먼트.
• 큰 점프의 시간 분포를 규명하고, $n \to \infty$일 때 그 분포가 적절한 극한 분포로 수렴함을 보여주기 위해.
• 점프 크기의 극한 행동을 묘사하여, 중심화 및 척도 조정 후 정규 분포로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 함수 $b_n = \beta \mathbf{P}(X > an)/(an)$을 사용하여 사건 $\{S_n \leq T, L_n \geq -x\}$의 점 渐차적 확률을 유도하고, 잠재 함수 $U(x)$와 $V(-z)$와 연관시킨다.
• 큰 점프의 위치를 식별하기 위해 랜덤 시간 $\varkappa = \inf\{j \geq 1 : X_j \geq an/2\}$을 도입한다.
• 시간 반전과 쌍대성의 원리를 적용하여 점프 이후 세그먼트를 음의 기울기를 가진 랜덤 워크와 연결시키며, 이는 $-x$ 위에 머무르도록 조건화된 $\mathbf{S}'$로 표기된다.
• 커플링 추론과 약한 수렴을 적용하여, 점프 이전 및 이후 세그먼트의 공동 분포가 점프 시간의 정적 분포를 포함하는 곱 측도로 수렴함을 보여준다.
• 유계 수렴 정리와 중심극한정리를 사용하여, 정규화된 점프 크기 $ (X_\varkappa - an)/\sqrt{n} $ 가 분산 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)$를 가진 중심 정규 분포로 수렴함을 보여준다.
• 점프 시간 분포의 수렴을 확립하기 위해 $\mathbf{P}(X_j \geq an/2 \mid L_n \geq -x, S_n \leq T)$의 극한을 계산하며, 이는 $\pi_j(x) = \mathbf{P}(L_{j-1} \geq x) / \sum_{k \geq 0} \mathbf{P}(L_k \geq x)$로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무거운 꼬리, 음의 기울기를 가진 랜덤 워크가 $n$ 단계 동안 $-x$ 위에 머무르고 $T$ 이하로 끝나는 점 渐차적 확률은 무엇인가?
• RQ2 최소값과 최종값으로 조건화된 조건부 워크의 일반적인 궤적에서 큰 점프는 어디에 집중되는가?
• RQ3 조건화 조건 하에서 $n \to \infty$일 때 점프 시간 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 적절한 중심화 및 척도 조정 후 큰 점프 크기의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ5 조건화된 워크의 전체 궤적은 점프 이전, 점프, 점프 이후 세그먼트에 해당하는 독립적 구성요소로 분해될 수 있는가?

주요 결과

• 점점 $n \to \infty$일 때, 확률 $\mathbf{P}(S_n \leq T, L_n \geq -x)$는 $b_n U(x) \int_0^{x+T} V(-z) \, dz$ 와 점 渐차적으로 동치이며, 여기서 $b_n = \beta \mathbf{P}(X > an)/(an)$이다.
• 점프 시간 $\varkappa$ 는 분포적으로 적절한 확률 변수로 수렴하며, $\mathbf{P}(\varkappa = j) = \pi_j(x) = \mathbf{P}(L_{j-1} \geq x) / \sum_{k \geq 0} \mathbf{P}(L_k \geq x)$이다.
• 정규화된 점프 크기 $ (X_\varkappa - an)/\sqrt{n} $ 는 분산 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)$를 가진 중심 정규 분포로 수렴한다.
• 점프 이전 세그먼트는 $-x$ 위에 머무르도록 조건화된 조건부 랜덤 워크로 수렴하며, 음의 기울기를 가진 랜덤 워크로 수렴한다.
• 점프 이후 세그먼트는 시간을 반전했을 때, $-x$ 위에 머무르도록 조건화된 양의 기울기를 가진 랜덤 워크로 수렴하며, 초기 분포 $\mu$ 는 $\mu(dy) = \mathbf{P}_y(L_\infty' \geq -x) \mathbf{1}_{[-x,T]}(y) / \theta$ 로 주어진다.
• 점프 이전 및 이후 세그먼트의 공동 분포는 곱 측도로 수렴하여, 점프 시간이 주어졌을 때 두 세그먼트 사이의 점 渐차적 독립성을 보여준다.