[論文レビュー] Random walks in random environments

Ofer Zeitouni|ArXiv.org|Apr 24, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ランダム環境におけるランダムウォーク（RWRE）をレビューし、 hitting times と再生構造を用いた1次元の非再帰性、再帰性、極限定理に焦点を当てる。ボールスティック運動の条件とゼロ速度の非再帰性を確立し、カットタイムと大偏差原理を用いて高次元RWREへと結果を拡張する。特に、クエンチド測度下での決定的レート関数を有するネスティング環境に対して有効である。

ABSTRACT

Random walks in random environments (RWRE's) have been a source of surprising phenomena and challenging problems since they began to be studied in the 70's. Hitting times and, more recently, certain regeneration structures, have played a major role in our understanding of RWRE's. We review these and provide some hints on current research directions and challenges.

研究の動機と目的

• 不均一で非可逆的なマルコフ連鎖のランダム媒体中での挙動を理解すること。特に、劣拡散的および捕獲現象に注目する。
• RWREがボールスティック運動またはゼロ速度の非再帰性を示す条件を分析すること。特に1次元および高次元設定において。
• 到達時刻や再生構造といったツールを用いて、RWREの大数の法則および中心極限定理を導出すること。
• ネスティングRWREに対してクエンチド大偏差原理（LDP）を確立し、非ネスティングおよびアンネイルド領域における未解決の課題を特定すること。

提案手法

• エルゴード性と再生型の議論を用いて、到達時刻 $ T_n $ と最初の通過時刻の分析により、概収率の速度極限を導出する。
• 環境依存の比 $ \rho_x = \omega_x / (1 - \omega_x) $ を含む再帰的公式を用いて、1次元における到達確率を計算する。
• $ d \geq 6 $ の $ \mathbb{Z}^d $ において、最初の5成分が決定的遷移確率を持つ独立したランダムウォークをとる再生時刻とカットタイムを導入する。
• 部分加法的エルゴード定理を用いて、クエンチド大偏差に対して決定的なリャプノフ関数 $ \Lambda(y, \lambda) $ の存在を証明する。
• 測度集中とカットタイムによるパス分解を用いて、環境に依存する増分の独立性を確立し、LDPの導出を可能にする。
• 積測度の仮定と混合性を用いて、高次元における環境依存増分の独立性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元RWREが正の速度、負の速度、またはゼロ速度を示す条件は何か。これは環境のモーメントにどのように依存するか。
• RQ2 到達時刻と再生構造は、高次元RWREにおいて大数の法則および中心極限定理を導出するためにどのように機能するか。
• RQ3 ネスティングRWREのクエンチド大偏差原理の性質は何か。アンネイルドの場合とはどのように異なるか。
• RQ4 独立した成分の進化を仮定しない非ボールスティックで非i.i.d.なRWREに対し、カットタイムを構成することは可能か。
• RQ5 なぜRWREのアンネイルドLDPは単にクエンチドレート関数と関連しないのか。この複雑さを引き起こすメカニズムは何か。

主な発見

• 1次元では、$ \sum_{i=1}^\infty E_P(\prod_{j=0}^i \rho_{-j}) < \infty $ であれば速度 $ v $ は正であり、逆に逆数の積和が収束する場合は負であり、それ以外の場合はゼロである。
• i.i.d.積測度の場合、$ E_P(\rho_0) < 1 $ であれば速度は $ v = \frac{1 - E_P(\rho_0)}{1 + E_P(\rho_0)} $ で与えられ、左尾についても同様に成り立つ。
• $ d \geq 6 $ では、アンネイルド測度下でも確率1で決定的速度 $ v $ が存在し、局所速度の期待値 $ E_P(v_0(\omega)) $ がゼロであっても成り立つ。
• 積測度を有するネスティングRWREに対しては、クエンチドLDPが成り立ち、部分加法的エルゴード定理を $ \Lambda(y, \lambda) $ に適用することで決定的レート関数が得られる。
• $ \mathbb{Z}^5 $ においてカットタイムは正の密度を有し、環境の増分が独立となる。これにより、高次元におけるLLNおよびCLTの証明が可能となる。
• 本稿は、非ネスティングRWREが重大な未解決問題を孕んでいることを特定した。再生時刻の尾の制御が良好であるにもかかわらず、クエンチドLDPの証明が困難である。