[논문 리뷰] Randomized adiabatic quantum linear solver algorithm with optimal complexity scaling and detailed running costs

David Jennings, Matteo Lostaglio외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 신호 처리와 최적화된 아디아바틱 진화를 융합한 랜덤화된 아디아바틱 양자 선형 해법기를 제시한다. 이는 초기 고장내성 구현을 위한 비점근적 쿼리 복잡도 $ Q = O(\tau \widetilde{O}(\tau)) $ 를 달성하여 이전 방법 대비 최대 9배의 비용 절감을 이룬다. 알고리즘은 $ O(\tau \log(\kappa/\epsilon)) $ 점근적 스케일링을 달성하며, 상수 계수를 개선하여 쿼리 횟수와 분산에 대한 엄밀한 경계를 통해 실용적인 양자 서브루틴 구현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is a fundamental problem with a wide variety of applications across many fields of science, and there is increasing effort to develop quantum linear solver algorithms. [Subaşi et al., Phys. Rev. Lett. (2019)] proposed a randomized algorithm inspired by adiabatic quantum computing, based on a sequence of random Hamiltonian simulation steps, with suboptimal scaling in the condition number $κ$ of the linear system and the target error $ε$. Here we go beyond these results in several ways. Firstly, using filtering~[Lin et al., Quantum (2019)] and Poissonization techniques [Cunningham et al., arXiv:2406.03972 (2024)], the algorithm complexity is improved to the optimal scaling $O(κ\log(1/ε))$ -- an exponential improvement in $ε$, and a shaving of a $\log κ$ scaling factor in $κ$. Secondly, the algorithm is further modified to achieve constant factor improvements, which are vital as we progress towards hardware implementations on fault-tolerant devices. We introduce a cheaper randomized walk operator method replacing Hamiltonian simulation -- which also removes the need for potentially challenging classical precomputations; randomized routines are sampled over optimized random variables; circuit constructions are improved. We obtain a closed formula rigorously upper bounding the expected number of times one needs to apply a block-encoding of the linear system matrix to output a quantum state encoding the solution to the linear system. The upper bound is $837 κ$ at $ε=10^{-10}$ for Hermitian matrices.

연구 동기 및 목표

• 초기 고장내성 양자 하드웨어를 위한 명시적이고 점근적이지 않은 쿼리 비용 경계를 갖춘 양자 선형 해법기를 개발하기 위해.
• 아디아바틱 진화와 필터링 기법을 최적화하여 양자 선형 해법기의 자원 오버헤드를 감소시키기 위해.
• 선형 해법기를 서브루틴으로 사용하는 모든 양자 알고리즘에 적용 가능한 문제 무관 및 아키텍처 무관 비용 모델을 제공하기 위해.
• 아디아바틱 진화 시간의 기대 쿼리 비용과 분산을 분석하여 실용적 구현에 대한 강건성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 Subaşı 등에 기반한 수정된 아디아바틱 진화 프로토콜을 사용하며, 기대 쿼리 수를 감소시키기 위해 랜덤화된 진화 시간을 적용한다.
• 쿼리 복잡도는 조건수 $ \kappa $, 오차 허용치 $ \epsilon $, 블록 인코딩 스케일링 $ \alpha $ 에 따라 의존하는 닫힌 형태의 표현식에서 유도되며, $ \epsilon = 10^{-10} $ 일 때 $ Q \approx 2305 \kappa / \sqrt{2 - \sqrt{2}} $ 이다.
• 아디아바틱 진화 시간은 기댓값 또는 분산을 최소화하기 위해 최적화된 확률 분포 $ p_j(t) $ 를 갖는 랜덤 변수로 모델링된다.
• 에너지 갭 $ \Delta(s) $ 를 포함한 분석식을 사용하여 쿼리 수의 분산을 경계하며, 적분 근사법을 통해 더 견고한 경계를 도출한다.
• 분산 최적화 분포 $ p_j(t) \propto \left( \frac{\cos(\Delta(s_j)t/2)}{\pi^2 - \Delta^2(s_j)t^2} \right)^2 $ 는 표준 편차를 평균의 8–12%로 감소시켜 안정성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QSP 필터링을 갖춘 랜덤화된 아디아바틱 양자 선형 해법기의 정확한 비점근적 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 기대 쿼리 수는 $ \kappa $, $ \epsilon $, $ \alpha $ 와 어떻게 스케일링되며, 이전 알고리즘과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ3 최적화된 확률 분포를 통해 아디아바틱 진화 시간의 분산을 분석적으로 경계하고 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 조건수의 수준이 초기 양자 하드웨어에 적합한 경우, 이 알고리즘이 최신 기술 대비 실용적 비용 우수성을 얼마나 확보하는가?
• RQ5 이 알고리즘이 더 큰 양자 응용에서 문제 무관 및 아키텍처 무관 서브루틴으로 구현 가능한 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 알고리즘은 $ \kappa = 10^3 $ 이고 $ \epsilon = 10^{-10} $ 일 때 비점근적 쿼리 복잡도 $ Q \approx 6023\kappa $ 를 달성하며, Costa 등 [1] 이 제공한 최고의 수치적 추정치 대비 4.8–8.8배의 향상을 이룬다.
• 모든 $ \kappa \leq 10^{32} $ 에 대해, 약간 느슨한 점근적 스케일링에도 불구하고 Costa 등 [1] 이 제안한 점근적으로 최적의 $ O(\kappa \log(1/\epsilon)) $ 알고리즘을 초월한다.
• 아디아바틱 단계의 기대 쿼리 수는 이전 방법 대비 최대 9배 감소하였으며, 표준 프rotocol에서 진화 시간의 분산은 평균의 11–20% 이내로 경계되었다.
• 분산 최적화 프로토콜은 쿼리 수의 표준 편차를 평균의 8–12%로 감소시켜 안정성을 향상시켰으며, 비용 증가 없이도 가능했다.
• 알고리즘은 $ O(\kappa \log(\kappa/\epsilon)) $ 점근적 스케일링을 유지하며, 최고의 알려진 점근적 성능를 달성했고, 상수 계수를 크게 향상시켰다.
• 분석은 문제 무관 및 아키텍처 무관이며, 선형 해법기를 서브루틴으로 사용하는 양자 알고리즘의 종합적 비용 모델링에 직접 활용 가능하다.