[論文レビュー] Randomized Benchmarking as Convolution: Fourier Analysis of Gate Dependent Errors

Seth Merkel, Emily Pritchett+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2018

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ひとこと要約

この論文は、有限群上の行列値関数に対するフーリエ解析を用いて、ランダム化ベンチマーク（RB）を畳み込み演算に再定式化し、ゲート依存エラーの厳密かつ直感的な理解を可能にする。GowersとHatamiのフーリエ変換フレームワークを適用することで、著者らはゲート依存ノイズ下でのRBシーケンスが小さな補正項を伴う二つの指数関数の和として崩壊することを証明し、平均エラーがデポラライジングチャネルであるか、理想ゲート集合との忠実度を最大化する最適ゲージを構築する。

ABSTRACT

We show that the Randomized Benchmarking (RB) protocol is a convolution amenable to Fourier space analysis. By adopting the mathematical framework of Fourier transforms of matrix-valued functions on groups established in recent work from Gowers and Hatami [Sbornik: Mathematics 208, 1784 (2017)], we provide an alternative proof of Wallman's [Quantum 2, 47 (2018)] and Proctor's [Phys. Rev. Lett. 119, 130502 (2017)] bounds on the effect of gate-dependent noise on randomized benchmarking. We show explicitly that as long as our faulty gate-set is close to the targeted representation of the Clifford group, an RB sequence is described by the exponential decay of a process that has exactly two eigenvalues close to one and the rest close to zero. This framework also allows us to construct a gauge in which the average gate-set error is a depolarizing channel parameterized by the RB decay rates, as well as a gauge which maximizes the fidelity with respect to the ideal gate-set.

研究の動機と目的

• 群のフーリエ解析を用いて、ゲート依存エラーの数学的に厳密かつ直感的なフレームワークを提供すること。
• 表現依存性に起因する緩い境界を与える従来の摂動的アプローチの限界を克服すること。
• ゲート依存ノイズ下でのRBシーケンスが、固定表現におけるゲート忠実度に依存しない二つの指数関数的崩壊構造を示すこと。
• ゲージ変換を用いて平均エラーチャネルを一般化されたデポラライジング形式に単純化する、または理想ゲート集合との忠実度を最大化すること。
• 具体的な例を通じてこのフレームワークの有効性を示すこと。例として、漏れの特定と、クリフォード群におけるグローバル位相の役割を含む。

提案手法

• GowersとHatamiのフーリエ変換フレームワークを用いて、クリフォード群上の行列値関数の畳み込みとしてRBを形式化する。
• クリフォード群のスーパーオペレーター表現にフーリエ変換を適用し、群の要素を既約表現にマッピングする。
• 畳み込みの恒等式とパーサバルの定理を用いて、フーリエ空間におけるRBシーケンスの崩壊を分析する。
• 変換されたエラー過程の固有値を検討することで、二つの指数関数的崩壊の挙動を導出し、二つの固有値が1に近く、残りは0に近いことを示す。
• フーリエ変換されたエラー演算子の固有ベクトルを用いてゲージ変換を構築し、デポラライジングエラーチャネルを達成するか、理想ゲート集合との忠実度を最大化する。
• WallmanとProctorの例を再現・拡張することで、フレームワークを検証する。例として、漏れや位相に敏感なエラーモデルを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲート依存エラーを伴うランダム化ベンチマークは、摂動的近似を越えて、どのように数学的に厳密に分析できるか？
• RQ2 ゲート依存ノイズ下でのRB崩壊の関数的形は何か？ なぜこれは表現の選択に依存しないのか？
• RQ3 ゲージ自由度を用いて、RBにおける平均エラーチャネルを一般化されたデポラライジングチャネルに変換できるか？
• RQ4 理想ゲート集合との平均ゲート忠実度を最大化するゲージを構築することは可能か？
• RQ5 グローバル位相や漏れを含めると、RB崩壊および二つの指数関数的モデルの有効性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• RBプロトコルは、群代数における畳み込みとして厳密に記述可能であり、行列値関数に対するフーリエ変換を用いた解析が可能になる。
• ゲート依存ノイズ下では、固定表現におけるゲート忠実度に依存せず、小さな補正項を伴う二つの指数関数の和としてRB崩壊が成立する。
• 最適ゲージにおける平均エラーチャネルは、RB崩壊率によって完全に特徴づけられる一般化されたデポラライジングチャネルである。
• 理想ゲート集合との平均ゲート忠実度を最大化する新しいゲージが構築され、これは文献における初めての例である。
• このフレームワークはWallmanとProctorの例を再現・拡張し、1キュービットクリフォード群におけるグローバル位相の役割や漏れの特定を含む。
• 明示的な反例によって、従来の摂動的アプローチよりもタイトでより頑健なRB崩壊率の境界が得られることを示した。