[論文レビュー] Randomized Gossip Algorithm with Unreliable Communication

Guodong Shi, Mikael Johansson+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、通信が不安定な状況下における確率的gossipアルゴリズムを分析しており、ノードのペアが確率的に出会い、双方向のメッセージ交換が時間変動する確率で成功するものとする。本稿では、合意形成が通信の依存性に強く依存することを示している。完全な依存性のもとでは弱連結性が、確実な合意形成に十分かつ必要であるが、独立性のもとでは二重連結性が必要となる。平均値の保存は完全な依存性のもとで確実に成立するが、ノード数が奇数の場合、独立性のもとではほとんど確実に成立しない。

ABSTRACT

In this paper, we study an asynchronous randomized gossip algorithm under unreliable communication. At each instance, two nodes are selected to meet with a given probability. When nodes meet, two unreliable communication links are established with communication in each direction succeeding with a time-varying probability. It is shown that two particularly interesting cases arise when these communication processes are either perfectly dependent or independent. Necessary and sufficient conditions on the success probability sequence are proposed to ensure almost sure consensus or $ε$-consensus. Weak connectivity is required when the communication is perfectly dependent, while double connectivity is required when the communication is independent. Moreover, it is proven that with odd number of nodes, average preserving turns from almost forever (with probability one for all initial conditions) for perfectly dependent communication, to almost never (with probability zero for almost all initial conditions) for the independent case. This average preserving property does not hold true for general number of nodes. These results indicate the fundamental role the node interactions have in randomized gossip algorithms.

研究の動機と目的

• メッセージの送信が各方向とも時間変動する成功確率に従う、不安定な通信を伴う確率的gossipアルゴリズムの収束を分析すること。
• 前方および後方通信リンク間の確率的依存性が合意形成および平均値保存に与える影響を調査すること。
• 完全に依存的および独立な通信モデルのもとで、確実な合意形成またはε-合意形成を達成するための成功確率列に対する必要十分条件を導出すること。
• 特に弱連結性と二重連結性の違いに注目し、ネットワークトポロジー（弱連結性対二重連結性）が、異なる通信依存構造のもとで合意形成の成立に与える役割を検討すること。
• 合意形成の極限において、平均値が保存される確率を特定すること。特にノード数が奇数の場合と一般の数の場合を比較すること。

提案手法

• 各時刻にノードのペアが一様にランダムに選ばれ、通信を行う確率的過程としてノード間の相互作用をモデル化する。
• 各会話において、時間変動するベルヌーイ確率に従って成功する双方向の通信リンクを2つ導入する。
• 完全に依存する（両リンクが同時に成功または失敗する）通信モデルと、独立する（成功が統計的に独立する）通信モデルの2種類を区別する。
• 状態の時間発展をモデル化するために、確率的行列の積と確率的マトリックス解析を用い、異なる確率列のもとでのシステムの長期的挙動に注目する。
• 測度論的議論を用いて、独立通信のもとで、平均値を常に保存する初期状態の集合が、Lebesgue測度でゼロとなることを示す。
• 合意形成マトリックスの固有値解析と核空間の特徴付けを用いて、合意形成への収束および平均値保存の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動する成功確率列が、不安定な通信を伴う確率的gossipアルゴリズムで確実な合意形成を達成するための条件は何か？
• RQ2 前方および後方通信リンク間の依存構造が、gossipアルゴリズムの収束特性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 弱連結性と二重連結性のどちらのネットワークトポロジー条件のもとで、依存的および独立な通信モデルにおいて確実に合意形成が成立するか？
• RQ4 合意形成の極限で、初期状態の平均値と一致する確率は何か？ これはノード数および通信の依存性にどのように依存するか？
• RQ5 ノード数が奇数の場合、特に独立通信と完全な依存通信の間で、平均値保存の性質はどのように変化するか？

主な発見

• 完全に依存する通信のもとでは、基礎となるネットワークの弱連結性が、確実な合意形成に必要なだけでなく十分な条件である。
• 独立通信のもとでは、確実な合意形成を得るためには二重連結性が必要であり、この条件は十分でもある。
• 完全に依存する通信のもとでは、初期状態の平均値が、ノード数にかかわらず、すべての初期条件に対して確実に（確率1で）保存される。
• 独立通信のもとでは、ノード数が奇数の場合、ほとんどすべての初期条件に対して平均値が保存されない（確率0）。
• 独立通信かつノード数が奇数の場合、平均値の保存はほとんど確実に成立せず、情報伝達に根本的な非対称性が生じ、合意形成の対称性が崩れる。
• 独立通信のもとでは、平均値が極限で保存される初期状態の集合のLebesgue測度はゼロであり、平均の期待値が初期平均と一致する場合でさえも同様である。