[論文レビュー] Rank Conditions for Observability and Controllability for Time-varying Nonlinear Systems

Agostino Martinelli|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、時間変動非線形システムへの可観測性および可制御性ランク条件の拡張を行い、時間不変非線形および時間変動線形システムに対する既存の条件を一般化する新たな解析的基準を導入する。提案された条件はアルゴリズム的に実装可能であり、月面モジュールに応用された結果、燃料消費に伴う時間変動する質量および慣性モーメントの下でも、ヨー角を除き弱い局所的可観測性および定常推力制約下での弱い局所的可制御性を示している。

ABSTRACT

This paper provides the extension of the observability rank condition and the extension of the controllability rank condition to time-varying nonlinear systems. Previous conditions to check the state observability and controllability, only account for nonlinear systems that do not explicitly depend on time, or, for time-varying systems, they only account for the linear case. In this paper, the general analytic conditions are provided. The paper shows that both these two new conditions (the extended observability rank condition and the extended controllability rank condition) reduce to the well known rank conditions for observability and controllability in the two simpler cases of time-varying linear systems and time-invariant nonlinear systems. The proposed new conditions work automatically and can deal with any system, independently of its complexity (state dimension, type of nonlinearity, etc). Simple examples illustrate both these conditions. In addition, the two new conditions are used to study the observability and the controllability properties of a lunar module. For this system, the dynamics exhibit an explicit time-dependence due to the variation of the weight and the variation of the moment of inertia. These variations are a consequence of the fuel consumption. To study the observability and the controllability properties of this system, the extended observability rank condition and the extended controllability rank condition introduced by this paper are required. The paper shows that, even under the constraint that the main rocket engine delivers constant power, the state is weakly locally controllable. Additionally, it is weakly locally observable up to the yaw angle.

研究の動機と目的

• 時間変動非線形システムにおける弱い局所的可観測性および可制御性の一般的な解析的条件の欠如に対処する。
• 古典的な可観測性および可制御性ランク条件を明示的な時間依存性を有するシステムに拡張する。
• 線形時間変動および時間不変非線形ケースにおいて既知の条件に還元される統一的なフレームワークを提供する。
• 航空宇宙機などの時間変動パラメータを有する実世界のシステムに対する体系的な解析を可能にする。
• 月面モジュールの事例研究を通じて、燃料消費に起因する質量および慣性モーメントの変動を伴うシステムへの適用性を示す。

提案手法

• 時間微分および可観測共変動場のリー微分に基づく拡張された可観測性ランク条件を、時間変動系に適応して導入する。
• 時間変動ベクトル場を取り扱うために、新しい時間依存リー微分作用素 $\widetilde{\mathcal{L}}_f$ を定義する。
• 時間微分と $\widetilde{\mathcal{L}}_f$ の繰り返し適用により、可観測共変動場を計算する反復的アルゴリズムを提案する。
• 時間変動ダイナミクスを考慮するための新しい括弧演算 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ を用いて、拡張された可制御性ランク条件を構築する。
• 各ステップで可観測共変動場および可制御分布の生成子を生成する再帰的アルゴリズムを実装する。
• 簡単な例題と、時間変動する質量および慣性モーメントを有する現実的な航空宇宙応用（月面モジュールを含む）を用いて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な可観測性ランク条件は、時間変動非線形システムへ一般化可能か？
• RQ2 非線形時間変動系に対して、可制御性ランク条件の対応する拡張は存在するか？
• RQ3 新しい条件は、線形時間変動および時間不変非線形ケースにおいて、既知の結果にどのように還元されるか？
• RQ4 新しい条件は、時間変動パラメータを有する実際の航空宇宙システムへの応用にどの程度可能か？
• RQ5 燃料消費に起因する時間変動する質量および慣性モーメントを有する月面モジュールの可観測性および可制御性特性は何か？

主な発見

• 拡張された可観測性ランク条件は、質量および慣性モーメントの時間変動に起因するため、月面モジュールのヨー角を除き弱い局所的可観測性を的確に特定している。
• 拡張された可制御性ランク条件は、主ロケットエンジンが定常出力を発揮する場合でも、月面モジュールの弱い局所的可制御性を確認している。
• 離陸および着陸における第二のシナリオで示されたように、離陸時および着陸時の絶対的スケールの可観測性は、質量変動に起因する直接的結果であることが示された。
• 提案された条件はアルゴリズム的に実装可能であり、線形時間変動および時間不変非線形ケースにおいて標準的なランク条件に正しく還元される。
• 手法により、線形化や簡略化仮定を要しない、複雑で非線形的かつ時間変動するシステムの解析が可能である。
• 結果として、新しい条件が一般性と実用性を両立しており、任意の複雑さおよび非線形性を有するシステムに適用可能であることが示された。